Identitet je jednakost koja je tačna za bilo koju vrednost promenljive. Jednačina je jednakost koja ima tačnu vrednost samo za određenu vrednost promenljive.
U matematičkim izračunavanjima, trigonometrijski identiteti zauzimaju veoma važno mesto.
U ovom poglavlju, prikazaćemo glavne trigonometrijske identitete.
Uzajamno recipročni identiteti
Dokaz:
Posmatrajno pravougli trougao na slici 1.
Slika 1.
Kako je na osnovu definicije sin(θ) = y/r i csc(θ) = r/y, možemo zaključiti da je
sin(θ) = 1/csc(θ)
Slično se dokazuju i ostali identiteti iz ove grupe (uraditi za domaći zadatak).
Identiteti tangensa i kotangensa
Dokaz:
Znamo iz ranijih poglavlja da je tg(θ) = sin(θ) / cos(θ),
dok je ctg(θ) = cos(θ) / sin(θ).
Ako ponovo posmatramo sliku 1. i znajući formule tangensa i kotangensa po definiciji, dobijamo:
tg(θ) = y/x i ako brojilac i imenilac podelimo istom vrednošću r, onda dobijamo
tg(θ) = y/x = (y/r) / (x/r) = sin(θ) / cos(θ) .
Na osnovu početka dokaza imamo da je ctg(θ) = 1 / tg(θ) = cos(θ) / sin(θ).
Pitagorini identiteti
Dokaz:
Ovi identiteti se nazivaju Pitagorinim zato što su u stvari trigonometrijska verzija Pitagorine teoreme.To ćemo konkretno videti pri njihovom dokazivanju.
a) Posmatrajmo opet našu sliku 1. Na osnovu Pitagorine teoreme imamo da je x² + y² = r².
Ako sada obe strane pitagorine jednakosti podelimo sa r², dobijamo
x²/r² + y²/r² = r²/r², a to je ekvivalentno
x²/r² + y²/r² = 1. Na osnovu definicije sinusa i kosinusa tj. kako je sin(θ) = x/r i cos(θ) = y/r, dobijamo sin(θ)² + cos(θ)² = 1.
b) Slično kao kod a) jednačinu x² + y² = r² podelimo sa x² i znajući definicije tangensa i sekansa lako dolazimo do traženog identiteta 1 + tg(θ)² = sec(θ)².
c) Ponovimo postupak kao i pri dokazivanju pod a) i b) osim što početnu jednakost x² + y² = r², ovoga puta delimo sa y². Znajući po definiciji formulu za kotangens i kosekans, lako dolazimo do identiteta 1 + ctg(θ)² = csc (θ)².
Jednačina označena sa a') predstavlja drugačiju verziju jednakosti a).
Identiteti sume i razlike uglova
Dokaz:
Dokaz ovih identiteta je potpuno geometrijski zasnovan i ne sasvim trivijalan, a takođe nije neophodno njegovo poznavanje za dalje praćenje ovog kursa. Zato ga nećemo navoditi. Ko želi da vidi dokaz, neka klikne ovde --->Identiteti dvostrukog ugla
Dokaz:
Ovi identiteti se dokazuju na osnovu prethodne grupe formula.
Ako u formulu za sumu, stavimo da je α= β, onda dobijamo: sin(2α) = sin (α+α) = sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α) = 2sin(α)cos(α). cos(2α) = cos(α+α) = cos(α)cos(α) - sin(α)sin(α) = cos(α)² - sin(α)².
Ako u ovoj formuli za kosinus dvostrukog ugla, sin(α)² zamenimo sa 1 - cos(α)², dobijamo drugu formulu za kosinus dvostrukog ugla: cos(2α) = cos(α)² - (1 - cos(α)²) = 2cos(α)² - 1.
Ako u ovoj poslednjoj formuli, cos(α)² zamenimo sa 1- sin(α)², dobijamo treću formulu za kosinus dvostrukog ugla: cos(2α) = 1 - sin(α)² - sin(α)²= 1 - 2sin(α)².
Identiteti polovine ugla
Dokaz:
Ako u formulama za dvostruki ugao, zamenimo 2α sa θ, iz jednakosti 2α = θ dobijamo da je α = θ/2.
Dakle, cos(2α) = 2cos(α)² - 1, uvodimo zamenu 2α = θ
cos(θ) = 2cos(θ/2)² - 1, odakle sledi
2cos(θ/2)² = 1 + cos(θ)
cos(θ/2)² = (1 + cos(θ))/2
cos(θ/2) = . Koji će znak biti ispred korena zavisi od kvadranta.
Ako opet u formuli za sinus dvostrukog ugla, zamenimo 2α sa θ, i iz jednakosti 2α = θ dobijamo da je α = θ/2, onda dobijamo:
sin(θ/2)² = 1 - cos(θ), odakle sledi da je
sin(θ/2) =
Možemo primetiti da će znak kod formule za sinus polovine ugla biti - , dok je za cosinus polovine ugla +.
Identiteti proizvoda kao sume
Dokaz:
Ove formule se izvode iz identiteta sume i razlike.
1) Polazeći od toga da je sin(α+β) = sin(α)cos(β)+ cos(alpha;)sin(β) i
sin (α- β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β) i ako saberemo leve i desne strane ove dve jednakosti dobijamo
sin(α+β) + sin(α- β) = 2sin(α)cos(β) tj.
sin(α)cos(β) = 1/2[sin(α+β) + sin(α- β)].
2) Ovaj identitet se dokazuje slično prethodnom, osim što se polazne jednakosti ne sabiraju već se od druge oduzima prva.
3) Treći identitet se izvodi iz već poznate nam dve jednakosti:
cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) i
cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β). Sabiranjem levih i desnih strana ovih jednakosti dobijamo:
cos(α+β) + cos(α+β) = 2cos(α)cos(β), odakle dobijamo da je:
cos(α)cos(β) = 1/2[cos(α+β) + cos(α-β)].
4) Četvrti identitet se dokazuje slično trećem, osim što se od prve polazne jednakosti oduzme druga, te dobijamo:
cos(α+β) - cos(α+β) = -2sin(α)sin(β) tj.
sin(α)sin(β) = -1/2[cos(α+β) - cos(α-β)].
Identiteti suma kao proizvodi
Dokaz:
Identiteti ove grupe se dokazuju direktno i redom iz identiteta proizvoda kao sume.
1) Prvi identitet ove grupe se dobija direktno iz prvog identiteta proizvoda sume na sledeći način:
sin(α)cos(β) = 1/2[sin(α+β) + sin(α- β)], zamenom strana i množenjem celog identiteta sa 2 dobijamo:
sin(α+β) + sin(α- β) = 2sin(α)cos(β) -------->(1).
Zatim uvedemo smenu tako da je α+β= A i α- β= B. Zatim rešimo ovaj sistem jednačina po α i β i dobijamo da je α= 1/2(A + B) i β= 1/2(A - B).
Zamenom u (1) dobijamo:
sin A + sin B = 2 sin 1/2(A + B) cos 1/2(A - B).
Preostala tri identiteta se dobijaju na isti način iz preostala tri identiteta proizvoda kao sume (redom).
.
