Sinusna i

kosinusna teorema

U dosadanjem delu kursa o trigonometriji bavili smo se pravouglim trouglom i njegovim rešavanjem. Kurs nastavljamo pričom o trouglu koji nema nijedan prav ugao. Videćemo kako ćemo rešavati takav trougao, koristeći trigonometrijske alate.

Ugao koji nije pravougli može imati sve uglove oštre (oštrougli) ili dva oštra i jedan tup ugao (tupougli).
Kako rešiti ovakav trougao (tj. kako odrediti dužine njegovih stranica i veličine uglova)?
Trigonometrija koja se bavi rešavanjem ovakvih trouglova nije tako jednostavna kao trigonometrija pravouglog trougla, ali postoje dve veoma važne teoreme koje pojednostavljuju ovaj problem i lake su za korišćenje. Zovu se sinusna i kosinusna teorema. Nekada su korišćene i druge teorme ali sa početkom primene kalkulatora, ispostavilo se da su ove dve dovoljne.

Kosinusna teorema

Ova teorema ima veoma jednostavan matematički zapis i ako stranice trougla obeležimo redom a,b,c i uglove α naspram stranice a), β (naspram stranice b) i γ (naspram c), on izgleda ovako:

c² = a² + b² 2abcos(γ)

Ako bolje pogledamo, kosinusna teorema jako potseća na Pitagorinu teoremu proširenu za poslednji izraz i ako bi ugao γ bio jednak pravom uglu, tada bi cos(γ) bilo jednako 0 i kao rezultat dobijamo zapis Pitagorine teoreme.

Možemo primetiti da za svaki trougao imamo tri formule za kosinusnu teoremu. Pored već navedene, preostale dve imaju sledeći oblik:

b² = a² + c² 2accos(β)

a² = b² + c² 2bccos(α)

Postoje dva slučaja u kojima se koristi kosinusna teorema.
Prvo, ako su nam dati ugao i njemu nalegle dve stranice i treba odrediti treću (naspramnu) stranicu.

Primer 1: Neka je ugao γ = 60°, stranica a = 5 i stranica b = 8, odrediti stranicu c. Kosinusna teorema primenjena na ovaj slučaj glasi c² = 25 + 64 80cos(60°). Pošto je cos(60°) = 1/2, dobijamo da je c² = 49, tj. c = 7.

Drugi slučaj, ako znamo sve tri stranice zadatog trougla, kako naći ugao.

Primer 2: Neka su zadate dužine svih triju stranica trougla a = 5, b = 6, i c = 7. Naći ugao γ. Kosinusna teorema primenjena na ovaj slučaj glasi 49 = 25 + 36 60cos(γ). Izračunavanjem dobijamo da je cos(γ) = 12/60 = 0.2 i uz pomoć kalkulatora dobijamo da je γ = 1.3734 rad = 78.69°.
Napomena: Kada je trougao tupougli, tada je cos(γ) negativan.

Sinusna teorema

Ova teorema takođe ima veoma jednostavnu formulu (za trougao čije su stranice i uglovi obeleženi kao kod kosinusne teoreme):

sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

Dakle, sinusna teorema se sastoji iz tri jednakosti. Ova teorema se koristi u dva slučaja.
Prvo, ako su nam poznata dva ugla i stranica naspram jedne od njih, korišćenjem sinusne teoreme možemo odrediti stranicu naspram drugog od zadatih uglova.

Primer 1: Neka je ugao α = 30°, ugao β = 45° i stranica a = 16. Tada koristeći sinusnu teoremu dobijamo da je (sin(30°))/16 = (sin(45°))/b. Rešavanjem po b dobijamo b = 16(sin(45°))/(sin(30°)) = 22.6274

Drugo, ako su nam poznate dve stranice i ugao naspram jedne od njih, onda možemo odrediti ugao naspram druge zadate stranice.
Primer 2: Neka su stranice a = 25, b = 15 i ugao α = 40°. Tada, na osnovu sinusne teoreme sledi (sin(40°))/25 = (sin(β))/15. Daljim rešavanjem po sin(β) dobijamo sin(β) = 15 (sin 40°)/25 = 0.38567, tj. arcsin(0.38567) = 22.686°.
Napomena: ugao koji se na ovaj način dobija ima dva rešenja 22.686° i 180° 22.686° = 157.314°, gde je drugi suplementan prvom dobijenom uglu. To znači da imamo neodređenu situaciju, tj. nije dovoljno poznavanje i ugla naspram jedne od njih da bi smo rešili trougao. Iz ovoga proizilazi činjenica kojom se bavi geometrijski stav "stranica-stranica-ugao" o podudarnosti trouglova.








Prethodna ..... Sledeća