Grafici

trigonometrijskih

funkcija
Nule funkcije

Nule funkcije sin(θ) su sve vrednosti ugla θ za koje je sin(θ) jednak 0.
Koje su to vrednosti?
Iz lekcije o jediničnom krugu smo naučili da se vrednosti sinusa nalaze na y-osi. Zbog toga možemo primetiti da je prva vrednost ugla za koju je sin(θ)=0 vrednost θ=0.
Druga vrednost je θ=π, zatim vrednost 2π ... i tako dalje nπ, pri čemu je n iz skupa celih brojeva.
Dakle, sin(θ)=0 za θ= nπ, za n ∈ Z.
Sa slike 1. možemo videti da nule funkcije sin(θ) su tačke u kojima grafik te funkcije seče x-osu.

                             Slika 1.
Prethodni zaključak važi za bilo koji argument funkcije sin(θ). Na primer:
sin(2x) = 0 kada je 2x = nθ tj. kada je x = nθ/2, gde n ∈ Z.

Minimalna i maksimalna vrednost

Poznavajući jedinični krug znamo da funkcija sin(θ) ima maksimalnu vrednost 1 i minimalnu vrednost i -1. Opet na osnovu jediničnog kruga sin(θ) = 1 za π/2 dok sin(θ) = -1 za 3π/2. Zaključak je da funkcija sin(θ) ima maksimalne vrednosti za (n+1)π/2, gde n ∈ Z i ima minimalne vrednosti za (2n+1)π/2 za n ∈ Z. Pogledajmo sliku 2.

                             Slika 2.
I konačno grafik funkcije y = sin(x) izgleda ovako (slika 3.):

                             Slika 3.
Nezavisno promenljiva x može uzimati bilo koju realnu vrednost.

Periodičnost funkcije

Kada se vrednosti funkcije periodično ponavljaju onda kažemo da je ta funkcija periodična. Matematička definicija periodičnosti funkcije je sledeća:
Definicija: Za funkciju f(x) kažemo da je periodična ako važi f(x + p) = f(x), gde p ∈ R. Vrednost p se naziva periodom funkcije.

Funkcija sin(x) je periodična i njena vrednost se ponavlja za period 2π tj. važi jednakost sin (x + 2π) = sin(x) . Pogledajmo sledeću sliku 4.

                             Slika 4.
Grafik funkcije y = sin(ax)

Ako trigonometrijska funkcija ima oblik y = sin(ax) tada konstanta a određuje broj perioda funkcije na intervalu dužine 2π. Drugim rečima, konstanta a određuje koliko često funkcija oscilira.

Primer1:

Za funkciju y = sin(ax) neka je a = 2. To znači da funkcija y = sin(2x) ima 2 perioda na intervalu dužine 2π. Pogledajmo grafik te funkcije na slici 6.

                               Slika 6.
Primer2:

Neka je sada a = 3. To znači da funkcija y = sin(3x) ima 3 perioda na intervalu dužine 2π i da period funkcije iznosi 2π/3. Pogledajmo grafik te funkcije na slici 7.

                               Slika 7.
Primer3:

Pogledajmo sada slučaj kada a nije ceo broj. Neka je a = 1/2. Tada funkcija y = sin((1/2)x) ima samo pola perioda na intervalu dužine 2π i period funkcije iznosi 4π. Pogledajmo grafik te funkcije na slici 8.

                               Slika 8.


Grafik funkcije y = cos(x)

Grafik funkcije y=cos(x) se dobija iz grafika funkcije y = sin(x), kada se on pomeri levo za vrednost π/2. Ovo se može proveriti traženjem redom nula funkcije cos(x), zatim maksimalne i minimalne vrednosti kao kod funkcije sin(x). Grafik je dat na slici 5.

                             Slika 5.
Identitet sin (x + π/2 ) = cos x ćemo dokazati u nekoj od narednih oblasti.

Grafik funkcije y = tg(x)

Na slici 9. pogledajmo kako se kreće vrednosti tangensa (duž DE) u I i IV kvadrantu.
          Slika 9.
Možemo primetiti da kako se x kreće u intervalu (-π/2, π/2), tako tg(x) (čije vrednosti pripadaju duži DE) uzima bilo koju realnu vrednost tj. tg(x) pripada intervalu (-∞, +∞).
Zato grafik funkcije za I i IV kvadrant izgleda ovako (slika 10):

                             Slika 10.
Što se tiče II i III kvadranta grafik funkcije y = tg(x) se u njima ponavlja tj. isti je kao i za I i IV i to ponavljanje se periodično nastavlja duž cele x-ose.
Konačno, taj grafik izgleda kao na slici 11.

                             Slika 11.
Na kraju, pogledajmo aplet koji interaktivno prikazuje grafike sinusne, kosinusne i tangensne funkcije.


Pritiskom na zeleni pravougaonik (dobija se kada se mišem pređe preko crvenog), otvoriće se prozor sa apletom.






Prethodna ..... Sledeća