Jedinični krug

Definicija: Jedinični krug je krug čiji se centar nalazi u koordinatnom početku xy-ravni i čiji je poluprečnik dužine 1. Njegova jednačina u analitičkoj geometriji je x² + y² = 1 (videti sliku 1.).

          Slika 1.

Jedinični krug se x-osu u tačkama (-1,0) i (1,0) i y-osu u tačkama (0,1) i (0,-1).

1) Ono zbog čega se jedinični krug najčešće primenjuje je njegovo svojstvo da koordinate svake zadate tačke na krugu se mogu ne korišćenjem mere ugla koji zaklapa poluprečnik u toj tački sa pozitivnim smerom x-ose.

          Slika 2.

Na slici 2. vidimo kako to izgleda. Poluprečnik jediničnog kruga u bilo kojoj tački je hipotenuza pravouglog trougla čija horizontalna kateta je dužine cos(θ) a vertikalna dužine sin(θ). Ugao θ je u standardnom položaju. Na osnovu ranije definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sledeće jednakosti:

Naravno, x i y su koordinate proizvoljne tačke P na jediničnom krugu tj. normalna rastojanja tačke P od x i y ose. Ta rastojanja su istovremeno jednaka dužinama kateta uočljivog pravouglog trougla sa slike 2.
Znajući vrednosti za sin(θ) i cos(θ), lako nalazimo kolika je vrednost funkcije tg(θ).

Da razjasnimo posmatrajući sliku 2. : zbog veličine poluprečnika jediničnog kruga (1), trigonometrijske funkcije sinus i kosinus imaju vrednosti sin(θ) = y i cos(θ) = y. To znači da koordinate (x,y) neke proizvoljne tačke na datoj kružnici, možemo drugačije zapisati kao (sin(θ),cos(θ)). Ugao θ je u standardnom položaju i njegov završni krak sadrži datu tačku P sa koordinatama (x,y).

          Slika 3.

Zadatak1:
Odrediti koordinate tačke P date na slici 3.

Reenje:
Tačka P je tačka poluprečnika jediničnog kruga, koji sa negativnim smerom x-ose zaklapa ugao od 30. Taj ugao je jednak uglu od 210, koji zaklapa taj isti poluprečnik ali sa pozitivnim smerom x-ose. Pošto smo u dosadašnjem izlaganju o jediničnom krugu videli kako određujemo koordinate tačke P, kada se ona nalazi na završnom kraku ugla koji je u standardnom položaju, u ovom slučaju koordinate tačke P biti (cos(210), sin(210)) = (√3/2, 1/2). Možemo primetiti da su obe koordinate tačke P negativne, jer se ona nalazi u trećem kvadrantu.

2) Još jedna važna primena jediničnog kruga je određivanje domena trigonometrijskih funkcija i vrednosti tih funkcija za izvesne uglove.
Pošto jedinični krug ima radijus 1 i koordinate svake tačke na tom krugu su oblika (cos(x) , sin(x)), možemo zaključiti da važi:

Evo kako izgledaju elementarne trigonometrijske funkcije prikazane na jediničnom krugu:

           Slika 4.

sin(α) = BC i predstavlja drugu koordinatu tačke
cos(α)= OB je prva koordinate zadate tačke
tg(α) = AD
ctg(α) = EF
sec(α) = OD
csc (α) = OF

Kako odrediti domen funkcije tg(x)?
Pošto smo u odeljku o elementarnim trigonometrijskim funkcijama videli da je tg(x) = sin(x)/cos(x), pa možemo zaključiti da ukoliko je vrednost cos(x) = 0 onda u skupu racionalnih brojeva ne možemo deliti nulom, pa je količnik tada ne definisan. Drugim rečima, tg(x) za vrednosti x = +π/2 ili x = -π/2 je ne definisana. Za sve ostale vrednesti x domen funkcije tg(x) je (-∞,+∞).

3) Još jedna važna primena jediničnog kruga je određivanje vrednosti trigonometrijskih funkicija za uglove koji pripadaju različitim kvadrantima Dekartovog koordinatnog sistema. Na slici 5. je po kvadrantima dat znak za prve tri elementarne trigonometrijske funkcije.

 Slika 5.

 Slika 6.

I kvadrant: θ = α
sin(θ) = y/1 = y
cos(θ) = x/1 = x
tan (θ) = y/x

II kvadrant: θ = 180-α
sin(θ) = sin(180° - α) = y/1 = sin(α)
cos(θ) = cos(180° - α) = -x/1 = -cos(α)
tan(θ) = tg(180° - α) = -y/x = -tg(α)

III kvadrant: θ =180 + α
sin(θ) = sin(180° + α) = -y/1 = -sin(α)
cos(θ) = cos(180° + α) = -x/1 = -cos(α)
tg (θ) = tg(180°+ α) = -y/(-x) = y/x = tg(α)

IV kvadrant: θ = 360 - &alpha;
sin(θ) = sin(360° - α) = -y/1 = -sin(α)
cos(θ) = cos(360° - α) = x/1 = cos(α)
tg(θ) = tg(360° - α) = -y/x = -tg(α)

Na sledećoj slici 7. su date vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke konkretne vrednosti uglova, koje se najčešće sreću u trigonometrijskim izračunavanjima.

 Slika 7.

U trigonometrijskim izračunavanjima se jako često traže vrednosti trigonometrijskih funkcija za negativne uglove. Naravno uz pomoć trigonometrijskog jediničnog kruga i taj problem je lako rešiv. Pogledajmo sledeću sliku 8.

          Slika 8.

Sa slike možemo videti sledeće:

cos(-α) = x/1 = cos(α)
sin(-α) = -y/1 = - sin(α)
tg(-α) = -y/x = - tg(α)

Zadatak2:

Izračunati sin(120)?

Rešenje:
Najpre pogledajmo u kom kvadrantu se nalazi završni krak ugla od 120°? Pogledajmo sledeću sliku 9.

          Slika 9.

Sa slike možemo videti da se nalazi u drugom kvadrantu i da se zato ugao od 120° može zapisati kao 120° = 180° - 60°.
Zbog toga je sin(120°) = sin(180° - 60°) = +sin(60°) = √3/2

Zadatak3:

Izračunati tan(330°)?

Rešenje:
Kao i u prethodnom zadatku pogledajmo u kom kvadrantu se nalazi završni krak ugla od 330°? Pogledajmo sliku 10.

          Slika 10.

Dakle, uz pomoć jediničnog kruga možemo videti da se završni krak traženog ugla nalazi u drugom kvadrantu i da se zato taj ugao može zapisati kao 330° = 360° - 30°.
Zbog toga je tg(330°) = tg(360° - 30°) = -tg(30°) = -1/√3

Zadatak4:

Izračunati cos(-225°)?

Rešenje:
Na osnovu pomenute činjenice o vrednosti trigonometrijskih funkcija za negativne uglove, imamo da je cos(-225°) = cos(225°). Završni krak ugla od 225° pripada trećem kvadrantu. To znači da taj ugao možemo zapisati kao 225°= 180°+45°. Pogledajmo sliku 11.

          Slika 11.

Sa slike možemo videti da je cos(225°) = cos(180°+45°) = -cos(45°) =
-1/√2

Prethodna ..... Sledeća