Uvod u trigonometriju
Reč trigonometrija nastala je od grčkih reči trigonos trougao i metron mera. Sam naziv trigonometrija asocira na operacije s trouglovima. U početku je za cilj imala izračunavanje vrednosti svih elemenata jednog trougla (visine, težišnih duži, simetrala, poluprečnika, površine i uglova) pomoću podataka dovoljnih za određivanje trougla. Njen prvobitni cilj je danas prevaziđen, pa je njena osnovna uloga izračunavanje trigonometrijskih funkcija.

Pitagorina teorema i njena primena

Trigonometrija je pre svega namenjena rešavanju problema vezanih za krugove i trouglove. Da bismo ušli u svet trigonometrije, potrebna su nam neka predznanja na koja smo se osvrnuli u napomeni kursa. Dakle, poznavanje Pitagorine teoreme će nam biti od velike koristi za dalje učenje. Ona glasi ovako:

U pravouglom trouglu, kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama. Ako katete tog trougla obeležimo sa a i b, a hipotenuzu sa c , tada je algebarski zapis ove teoreme a²+ b² = c².

Na slici 1. dat je pravougli trougao, čija su temena označena velikim slovima A, B, C, a površine kvadrata nad stranicama trougla sa a², b², c². 

          Slika 1.
Napomena: za podsećanje šta je pravougli trougao, kliknite na dugme "pravougli trougao".
Zanimljivost: Teorema je nazvana po grčkom filozofu i matematičaru iz 6. veka p.n.e. Pitagori, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i vavilonskim matematičarima mnogo pre Pitagore. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u poznatoj i važnoj knjizi Euklidovi Elementi.

Dokaz teoreme:

Sada ćemo dokazivati Pitagorinu teoremu uz pomoć animacije koja omogućava dinamično prikazivanje jednog od mnogobrojnih dokaza ove teoreme. Na vama je da igrajući se sledećim apletom uočite da Pitagorina teorema zaista važi.

Kako koristimo aplet?

Prvi korak: Pritiskamo dugme "Define" i time postavljamo 5 crvenih tačaka, pomoću kojih možemo prevlačiti sastavne delove velikog kvadrata nad hipotenuzom.

Drugi korak: Pritiskom na željenu crvenu tačku spremni smo da određeni deo, kome ona pripada, transliramo na željeno mesto.

Treći korak: Nakon prvog koraka, dugme "Define" postaje "Init" i pritiskom na njega dobijamo početni izgled animacije.


Sada ćemo primeniti Pitagorinu teoremu za rešavanje sledećih nekoliko zadataka.

Zadatak 1:
Kolika je površina preostalog kvadrata na datoj slici? I kolika je dužina stranica datog trougla na slici?


Ako želite da vidite rešenje zadatka, pritisnite dugme "Odgovor"!




Zadatak 2:

Kolika je dužina nepoznate stranice x sa date slike?


Za rešenje, pritisnite dugme "Odgovor"!




Zadatak 3:
Kolika je dužina nepoznate stranice x sa date slike?


Za rešenje, pritisnite dugme "Odgovor"!




Slični trouglovi

Ono što je takođe važno za dalje izučavanje trigonometrije jesu slični trouglovi.

Za dva trougla kažemo da su slični ako su im odgovarajući uglovi jednaki i odgovarajuće stranice proporcionalne.

U trigonometriji se vrlo često koriste dva slična trougla takva da je jedan od njih deo onog drugog, većeg trougla.

Primer2:
Trougao AEF je deo trougla ABC i oni imaju zajednički ugao kod temena A. U tom slučaju su im stranice BC i EF, koje se nalaze naspram ugla kod temena A, paralelne duži.

To nam najbolje ilustruje sledeći aplet.

java applet or image Kako koristimo aplet?

Vrhom strelice miša možemo pomerati tačke obojene crveno, koje predstavljaju temena A, B i C trougla ABC.
Možete primetiti da je teme E obojeno narandžastom, a teme F crnom bojom. Ukoliko vrhom strelice miša pomeramo narandžasto teme, menjamo veličinu trougla AEF, dok ukoliko vrhom strelice miša pomeramo crno teme, menjamo položaj trougla ABC.


Pitanje:
Koje stranice sličnih trouglova ABC i AEF, prikazanih u apletu, su proporcionalne i koji uglovi su jednaki?



Prethodna ..... Sledeća