Analiza 1
Smer: M, N, V, R L
I (4+4), II (4+4) PU
-
- UVOD
- REALNI BROJEVI. Polje realnih brojeva. Supremum i infimum. Arhimedovo svojstvo. Egzistencija korena. Racionalni i realni brojevi. Konačan, prebrojiv, neprebrojiv skup. Prošireni skup realnih brojeva.
- BROJNI NIZOVI. Granična vrednost, konvergencija. Košijev princip konvergencije. Konvergencija monotonih nizova. Broj e. Bolcano - Vajerštrasov stav. Gornji i donji limes.
- BROJNI REDOVI. Zbir, konvergencija, Košijev princip konvergencije. Redovi sa pozitivnim članovima. Poredbeni princip. Košijevo i Dalamberovo pravilo. Gausovo pravilo. Apsolutna konvergencija. Množenje redova. Neapsolutna konvergencija. Lajbnicovo pravilo. Abelovo i Dirihleovo pravilo. Rimanov stav. Beskonačni proizvodi.
- METRIČKI I NORMIRANI PROSTORI. Metrički prostor, izometrija. Direktan proizvod. Otvoreni i zatvoreni skupovi. Unutrašnjost, adherencija, rub. Konvergentni nizovi. Kompletnost. Banahova teorema. Neprekidnost preslikavanja. Uniformna neprekidnost. Neprekidnost složene funkcije. Granična vrednost. Smene promenljive. Kompaktnost. Kompaktni skupovi u Rk. Neprekidnost i kompaktnost. Povezanost. Povezani skupovi u R. Neprekidnost i povezanost. Otvoreni i povezani skupovi u Rk. Normirani vektorski prostori.
- REALNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE. Monotonost, konveksnost. Periodičnost. Elementarne funkcije. Osobine granične vrednosti. Jednostrani limesi. Gornji i donji limes. Jednostrana neprekidnost. Prekidi. Neprekidnost elementarnih funkcija. Neprekidnost monotonih funkcija. Neprekidne funkcije na kompaktnom intervalu. Stav o inverznoj funkciji. Funkcije ograničene varijacije. Asimptotske relacije o, O, asimptotska ekvivalentnost. Poredbene skale. Asimptotski razvoj.
- DIFERENCIRANJE FUNKCIJA REALNE PROMENLJIVE. Izvod, diferencijabilnost. Tangenta. Brzina. Jednostrani izvodi. Pravila diferenciranja. Izvodi elementarnih funkcija. Teoreme o srednjoj vrednosti. Lopitalova pravila. Tejlorova formula. Tejlorovi razvoji elementarnih funkcija. Ispitivanje funkcije pomoću izvoda (monotonost, konveksnost, ekstremi). Asimptote.
- NEODREĐENI INTEGRAL. Primitivna funkcija. Neodređeni integrali. Delimična integracija. Smena promenljive. Integrali racionalnih funkcija i integrali koji se svode na njih.
- RIMANOV INTEGRAL FUNKCIJA REALNE PROMENLJIVE. Rimanov integral i njegove osobine. Delimična integracija. Smena promenljive. Teoreme o srednjoj vrednosti. Diferenciranje i integracija. Dužina luka. Površina ravnog lika. Površina obrtne površi. Zapremina obrtnog tela. Primene u fizici.
- NESVOJSTVENI RIMANOV INTEGRAL. Konvergencija. Košijev princip. Integral pozitivne funkcije. Poredbeni princip. Integralno pravilo za redove. Apsolutna konvergencija. Abelovo i Dirihleovo pravilo.