Helikoid

(Kruzni) helikoid je monimalna povrs koja ima (kruzni) heliks kao granicu. On je jedina pravolinijska minimalna povrs, ne racunajuci ravan. Dugo je helikoid bio jedini poznati primer potpuno ugradjene minimalne povrsi konacne topologije sa neodredjenom krivinom. Medjutim, 1992. godine drugi primer, poznat kao Hofmanova minimalna povrs, je pronadjen. Helikoid je jedina ne-rotaciona povrs koja moze kliziti sama po sebi. Jednacina helikoida u cilindricnim koordinatama je $$ z = c \theta . $$ U Dekartovim koordinatama to je $$ \frac{y}{x} = \tan (\frac{z}{c}) . $$ Moze biti data i u parametarskom obliku sa \begin{eqnarray*} x &=& u \cos(v)\\ y &=& u \sin(v)\\ z &=& c v , \end{eqnarray*} koji je ocigledno uopstenje eliptickog helikoida. Pisuci $ z = -cu$ umesto $z = cv$ dobija se konus umesto helikoida. Koeficijenti prve osnovne forme helikoida su dati sa \begin{eqnarray*} E &=& 1\\ F &=& 0\\ G &=& c^2 + u^2 , \end{eqnarray*} a koeficijenti druge osnovne forme su \begin{eqnarray*} e &=& 0\\ f &=& -\frac{c}{\sqrt{c^2 + u^2}}\\ g &=& 0 , \end{eqnarray*} dajuci povrsinski element $$ dS = \sqrt{c^2 + u^2}du\wedge dv. $$ Integracijom po $v\in[0, \theta]$ i $u\in[0,r]$ se dobija \begin{eqnarray*} s &=& \int _0 ^\theta int _0 ^r \sqrt{c^2 + u^2}du dv\\ &=& \frac{1}{2} \theta \left[ r \sqrt{c^2 + r^2} + c^2 \log{\frac{r+\sqrt{c^2 + r^2}}{c}}\right]. \end{eqnarray*} Gausova krivina je data sa $$ K = -\frac{c^2}{(c^2+u^2)^2}, $$ a srdnja krivina je $$ H = 0, $$ cineci helikoid minimalnom povrsi