Hiperbolički paraboloid


Hiperbolički paraboloid
Hiperbolički paraboloid je zadat sa \( z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2} \) ili alternativno sa \( z=xy \). Parametrizacija hiperboličkog paraboloida je: $$ \begin{eqnarray*} x(u,v) &=& u \\ y(u,v) &=& v \\ z(u,v) &=& uv, \end{eqnarray*} $$ koeficijenti prve fundamentalne forme su: $$ \begin{eqnarray*} E &=& 1+v^2 \\ F &=& uv \\ G &=& 1+u^2, \end{eqnarray*} $$ koeficijenti druge fundamentalne forme su: $$ \begin{eqnarray*} e &=& 0\\ f &=& (1+u^2+v^2)^{-\frac{1}{2}} \\ g &=& 0, \end{eqnarray*} $$ element površine je $$ dS=\sqrt{1+u^2+v^2}. $$ Gausova krivina $$ K=-(1+u^2+v^2)^{-2}, $$ i srednja krivina je $$ H=-\frac{uv}{(1+u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}. $$ Gausova krivina je implicitno data kao $$ K(x,y,z)=-\frac{4a^6b^6}{(a^4b^4+4b^4x^2+4a^4y^2)^{2}}. $$
Kroz svaku tačku hiperboličkog paraboloida prolaze dvije prave koje mu pripadaju:

Linkovi