1 Uvod i motivacija

Funkcionalni nizovi predstavljaju bitan deo kursa Analize 2 na Matematičkom fakultetu, odnosno kurseva matematike na višim godinama studija tehničkih i prirodno-matematičkih fakulteta. Budući da su osnov za izgradnju mnogih drugih, dosta apstraktnijih, matematičkih teorija, od velikog je značaja dobro usvojiti fundamentalne ideje ove oblasti. Od posebne važnosti je i odnos različitih vrsta konvergencije funkcionalnih nizova (na primer, konvergencije tačka-po-tačka i ravnomerne konvergencije).

Ovaj rad ima za cilj da se osnovne ideje teorije funkcionalnih nizova, konkretno pojam konvergencije, predstave na što jednostavniji način, uz dosta primera. Osmišljen je delom i kao metodički priručnik za izvođenje nastave uvodnih pojmova ove oblasti, odnosno dodatak za studente u cilju lakšeg praćenja kursa i usvajanje osnovnih ideja pojma konvergencije funkcionalnih nizova kao uvod u apstraktnije oblasti.

Upotrebljen je vizuelni pristup, sa više grafičkih prikaza nego što je to inače slučaj kada se ova tema obradjuje.

Izlaganje je bazirano na velikom broju autorskih interaktivnih dinamičkih apleta izrađenih pomoću programskog paketa GeoGebra. Na taj način predstavlja svojevrstan metodički doprinos izlaganju klasične teme upotrebom modernih edukativnih tehnologija.

1 / 9

2 / 9

3 / 9

4 / 9

5 / 9

6 / 9

7 / 9

8 / 9

9 / 9

2 Realni nizovi

Pre razmatranja pojma funkcionalnih nizova, neophodno je prethodno razmotriti i poznavati osnovna svojstva nizova realnih brojeva tj. realnih nizova. U daljem tekstu biće navedene samo osnovne definicije i tvrdjenja, u svojstvu podsetnika, neophodna za dalja izlaganja. Izvestan nivo predznanja je pretpostavljen.

Definicija 1.
Svaka funkcija $ a:\mathbf{N} \to \mathbf{R} $ koja preslikava skup prirodnih brojeva u skup realnih, predstavlja niz realnih brojeva.
Vrednost $ a(n) $ funkcije $ a $ u tački $ n \in {\Bbb N} $ označava se sa $ (a_n)_{n \in \mathbf{N}} $ ili kraće $ (a_n) $.

Primer 1. Neka je $ (a_n)=(\frac{1}{n}) $, tada su članovi tog niza brojevi:
$a_1=a(1)=\frac{1}{1},\, a_2=a(2)=\frac{1}{2} $ $,\,a_3=a(3)=\frac{1}{3}, \,...,$ $ \,a_n=a(n)=\frac{1}{n},\,...$

Povlačenjem slajdera n (mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja) korisnik može redom videti prvih 100 članova niza.

Ključno u ovom razmatranju, što se često ispušta iz vida, jeste percepcija niza kao funkcije, sa domenom $ {\Bbb N} $, koja svakom prirodnom broju dodeljuje realni. Njen grafik predstavlja skup tačaka u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu. Treba istaći da se u praksi (i literaturi) najčešće koristi drugačija grafička interpretacija niza, pomoću brojevne prave, koja zapravo reprezentuje samo osu ordinate, odnosno osu vrednosti niza posmatranog kao funkciju jedne (prirodne) promenljive.

Definicija 2.
Tačka $ a \in {\Bbb R} $ naziva se limes ili granična vrednost niza $ (a_n) $ realnih brojeva u oznaci $a=\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n$, ako i samo ako:

$ (\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in \mathbf{N})(\forall n \in \mathbf{N})$ $(n>n_0\Longrightarrow |a_n-a|<\varepsilon). $

Niz $(a_n)$ je konvergentan ako i samo ako postoji granična vrednost $a=\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n$. Tada se za niz $(a_n)$ kaže da teži ka $ a $ kad $ n $ teži $\infty $ i piše: $a_n\rightarrow a\, (n\rightarrow \infty) $. Niz $(a_n)$ je divergentan ako nije konvergentan tj. ako ne postoji granična vrednost $a=\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n$. Specijalno, kažemo da niz $ (a_n)$ divergira ka $ +\infty$ i pišemo $\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n=+\infty$, ako za svaki broj $K>0 $ postoji $n_0 \in\mathbf{N}$ takav da za svako $n>n_0 $ važi $a_n>K$. Analogno, kažemo da niz $ (a_n)$ divergira ka $-\infty$ i pišemo $ \displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n=-\infty$, ako za svaki broj $K<0$ postoji $n_0 \in\mathbf{N}$, takav da za svako $n>n_0 $ važi $ a_n< K $.

Drugim rečima, tačka $ a $ je limes niza $ (a_n)$ ako i samo ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj $\varepsilon$ postoji takav indeks $n_0$ niza $a_n$, počev od kog se svi elementi sa indeksom većim od $ n_0$ nalaze na udaljenosti manjoj od $\varepsilon$ od vrednosti $a$. Dakle, može se reći da se u proizvoljno maloj okolini tačke $ a $ nalazi beskonačno mnogo članova niza a van te okoline samo konačno mnogo tj. u $\varepsilon$-okolini tačke $ a $ nalaze se skoro svi članovi tog niza. Pritom, ključno je istaći da je tačka $ a $ limes niza realnih brojeva, realan broj.

Primer 2. Na primeru istog niza, sada se može istaći njegova granična vrednost.

Primer 3. U sledećem apletu korisnik može menjati širinu $\varepsilon$-okoline tačke 0 i tako jasno videti od kog člana niza se svi naredni nalaze u toj okolini.

Primer 4. Niz koji ima dve tačke nagomilavanja nema graničnu vrednost jer se beskonačno mnogo članova niza sadrži u okolinama obe tačke nagomilavanja. Samim tim, isključena je mogućnost da se van $\varepsilon$-okoline jedne tačke nalazi samo konačan broj članova.

Košijev princip konvergencije

Definicija 3.
Niz $ (a_n) $ realnih brojeva je Košijev ako za svako $ \varepsilon>0 $ postoji indeks $ n_0 \in\mathbf{N} $, takav da je $ |a_m-a_n|<\varepsilon $ čim su indeksi $ m $ i $ n $ veći od $ n_0 $. Dakle, $ (a_n) $ je Košijev ako i samo ako $ (\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in \mathbf{N})(\forall m, n \in \mathbf{N})$ $(m, n>n_0\Longrightarrow |a_m-a_n|<\varepsilon). $
Opisno, moglo bi se reći da je niz $ (a_n) $ Košijev, ako su mu članovi sa dovoljno velikim indeksima proizvoljno blizu jedan drugom.

Niz iz primera 2 je Košijev. Zaista, neka je za svako $ \varepsilon>0$, $n_0 \in \mathbf{N}$ takav indeks niza $ (\frac{1}{n})$ da je $ n_0>\frac{2}{\varepsilon}$. Tada za sve $ m, n > n_0$ važi

$ |a_m-a_n|=\bigg | \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\bigg | \le \frac{1}{m}+\frac{1}{n} <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}< \varepsilon. $

Na sličan način može se utvrditi da niz $ a_n=(-1)^n$ iz primera 4 nije Košijev. Naime, pretpostavimo suprotno, neka je dati niz Košijev i neka je $ \varepsilon =1$. Tada postoji $n_0 \in \mathbf{N}$ takav da za sve $ m, n > n_0$ važi $ \big |(-1)^m-(-1)^n \big |<\varepsilon$. Međutim, ako je na primer $ m=n_0$ i $n=n_0+1$, onda je

$ \big |(-1)^m-(-1)^n \big |=\big |(-1)^{n_0+1}-(-1)^{n_0+2} \big |=\big |(-1)^{n_0} \big |\cdot \big |(-1)^1-(-1)^2 \big | = 1\cdot 2 >\varepsilon $

čime je polazna pretpostavka opovrgnuta tj. niz nije Košijev.

Budući da je izvestan nivo prethodnog znanja pretpostavljen, naredna tvrđenja biće navedena bez dokaza. Analogije ovih tvrđenja u slučaju funkcionalnih nizova biće detaljno obrađena.

Stav 1.
Svaki konvergentan niz je Košijev.

Teorema 1. (Košijev princip konvergencije)
Svaki Košijev niz u R je konvergentan.

Treba istaći i da prethodno tvrđenje ne važi ako umesto skupa $\mathbf{R}$ razmatramo neki drugi skup. Na primer niz aproksimacija broja $\sqrt{2}$ : $a_1=1.4$; $a_2=1.41$; $a_3=1.414$; $a_4=1.4142;$ ... (n-ti član niza je broj $\sqrt{2}$ zaogrugljen na odgovarajući broj decimala) jeste Košijev niz racionalnih brojeva ali nije i konvergentan u $\mathbf{Q}$ (jer se njegova granična vrednost, broj $\sqrt{2}$, ne nalazi u skupu $\mathbf{Q}$). Takođe, razmatrajući ponovo niz iz primera 2, ovoga puta na skupu $(0, 1]$, uočava se da on ne konvergira na tom skupu jer njegova granična vrednost $0$, nije sadržana u skupu $(0, 1]$.

3 Funkcionalni nizovi

U prethodnom odeljku bilo je reči o nizovima čiji su članovi realni brojevi. Međutim, članovi niza mogu biti i elementi nekog drugog skupa, ne nužno brojevi.

Definicija 4.
Ako su članovi niza realne funkcije $ f_n:D\rightarrow\mathbf{R} $, $ D\subset \mathbf{R} $, $ n\in \mathbf{N} $, tada je reč o nizu realnih funkcija odnosno o funkcionalnom nizu $ (f_n(x))$. Takav niz definiše se kao funkcija koja preslikava skup prirodnih brojeva u skup realnih funkcija jedne promenljive. Vrednosti takvog niza, odnosno njegovi članovi, su realne funkcije. Opšti član funkcionalnog niza obeležava se sa $f_n$ ili sa $f_n(x)$ (ukoliko se želi naglasiti da je $f_n$ funkcija promenljive $x$).

Primer 5. Neka je dat funkcionalni niz sa opštim članom $f_n(x)=\frac{x}{n}$. Tada su članovi tog niza funkcije: $f_1(x)=\frac{x}{1}=x$, $f_2(x)=\frac{x}{2}$, $f_3(x)=\frac{x}{3}$, $...$, $f_n(x)=\frac{x}{n}$, $...$
Na osnovu apleta koji prikazuje članove niza, student već može intuitivno izvesti zaključke o limesu niza.

3.1 Obična (tačka-po-tačka) konvergencija

Granična vrednost (konvergentnog) realnog niza je realni broj. Analogno, granična vrednost (konvergentnog) funkcionalnog niza je funkcija.

Definicija 5.
Neka je $D\subset\mathbf{R}$ i $(f_n(x))_{n\in \mathbf{N}}$ niz realnih funkcija $f_n:D\rightarrow\mathbf{R}$, $n \in \mathbf{N}$. Niz $(f_n(x))$ konvergira ka funkciji $f:D\rightarrow\mathbf{R}$ na $D$ kad $n\rightarrow\infty$ ako za svako $x \in D$ važi $$f(x)=\lim_{n \to \infty }f_n(x).$$ Za niz $(f_n(x))$ još se kaže da konvergira u običnom smislu odnosno tačka-po-tačka ka funkciji $f$ i piše se $f_n(x)\rightarrow f(x)$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$. Formalno:

$f_n(x)\rightarrow f(x)\,(n\rightarrow\infty)\, na\, D\Longleftrightarrow $
$ (\forall\varepsilon>0)(\forall x \in D)(\exists n_0 \in\mathbf{N}) $ $(\forall n\in \mathbf{N})(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon).$

Drugim rečima, funkcija $f$ je granična vrednost funkcionalnog niza $(f_n(x))$ ako za svaku fiksiranu vrednost promenljive $x$, npr. za $x=x_0$, brojevni niz $f_n(x_0)$ tj. niz vrednosti funkcija $ f_i$ u tački $x=x_0$, konvergira ka vrednosti funkcije $f$ u istoj toj tački. Na taj način, obična konvergencija funkcionalnog niza svodi se na pitanje konvergencije realnih nizova.

Primer 6. Neka je ponovo dat funkcionalni niz sa opštim članom $f_n(x)=\frac{x}{n}$ iz Primera 5.
Razmotrimo ovaj primer detaljnije. Neka je $ x=3$ fiksirana vrednost promenljive $ x$. Tada u tački $ x=3$ postoji niz vrednosti funkcija $ f_1(3)=3$, $ f_2(3)=\frac{3}{2}$, $ f_3(3)=\frac{3}{3}$, $ ...$, $ f_n(3)=\frac{3}{n}$, $ ...$ Niz $ (f_n(3))$ je realni niz, sa opštim članom $ f_n(3)=\frac{3}{n}$ i kao takav, konvergira ka broju $ 0$, što je ujedno i vrednost granične funkcije $ f$ u tački $ x=3$ tj. $ f(3)=0$.
Analogno, neka je sada na primer $ x=5.5$ fiksirana vrednost promenljive $ x$. Tada u tački $ x=5.5$ postoji niz vrednosti funkcija $ f_1(5.5)=5.5$, $ f_2(5.5)=\frac{5.5}{2}$, $ ...$, $ f_{100}(5.5)=\frac{5.5}{n}$, $ ...$ Niz $ (f_n(5.5))$ je realni niz, sa opštim članom $ f_n(5.5)=\frac{5.5}{n}$, i kao takav, konvergira ka broju $ 0$, što je ujedno i vrednost granične funkcije $ f$ u tački $ x=5.5$ tj. $ f(5.5)=0$.
Zapravo, za bilo koju fiksiranu vrednost $ x=x_0$ imaćemo realni niz $ (f_n(x_0))$ sa opštim članom $ f_n(x_0)=\frac{x_0}{n}$. Kako je $ x_0$ konstanta, jasno je da će svaki takav niz konvergirati ka vrednosti 0, što se opet poklapa sa vrednošću granične funkcije $ f$ u svakoj tački $ x=x_0.$

Primer 7. U naredna dva GeoGebra apleta, korisnik se može i sam uveriti u prethodno navedene zaključke.
Prvi aplet se ponovo odnosi na isti funkcionalni niz iz ranijih primera, ali ovoga puta korisnik ima apsolutnu slobodu u odabiru vrednosti promenljive x (tačku x je moguće pomerati mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja).
Pomeranjem slajdera n moguće je videti ponašanje prvih 150 članova funkcionalnog niza (slajder n moguće je pomerati na prethodno opisan način).
Korisniku je na ekranu vidjiva vrednost konkretnog člana niza u posmatranoj tački (u svakom trenutku na ekranu) kao i limes niza tih vrednosti (kada slajder dodje do kraja).
Dugme TRAG omogućava korisniku isticanja svih tačaka grafika koje odgovaraju vrednostima članova funkcionalnog niza u posmatranoj tački x (na taj način stiče se bolji vizualni doživalj niza).
Dugme OBRIŠI vraća aplet u početni položaj i isključuje opciju TRAG.

Drugi aplet funkcioniše po istom principu ali je zastupljen funkcionalni niz $ f_n(x)= \sin x + \frac{1}{n}$, odabran tako da granična vrednost ovoga puta ne bude konstantna funkcija $ f(x)=0$.

Osvrnimo se sada i na formalnu definiciju. Dakle, niz $(f_n(x))$ konvergira tačka-po-tačka ka funkciji $f$ na $D\subset \mathbf{R}$ ako i samo ako za svaki (proizvoljno mali) pozitivan broj $\varepsilon$ i za svaki realan broj $x$ iz $D$, postoji takav indeks $n_0$ niza $(f_n(x))$, počev od kog je udaljenost vrednosti svih ostalih članova niza (tj. funkcija $f_n(x)$) sa indeksom većim od $n_0$ u tački $x$, na udaljenosti manjoj od $\varepsilon$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $x$. Drugim rečima, za svaku vrednost promenljive $x$ iz $D$ postoji funkcija $f_{n_0}$ počev od koje će se vrednosti svih narednih funkcija u tački $x$ iz tog niza nalaziti u $\varepsilon$-okolini vrednosti granične funkcije $f$ u tački $x$ tj. unutar intervala ($f(x)-\varepsilon$, $f(x)+\varepsilon$) za proizvoljnu pozitivnu vrednost $\varepsilon$.

Primer 8. Razmotrimo ponovo funkcionlni niz $f_n(x)=\frac{x}{n}$ iz prethodnog primera. Neka je $\varepsilon=1.01$, tada se za fiksirano $x=x_1=2$, vrednosti svih funkcija u tački $x=2$, počev od indeksa $n=2$ (tj. vrednosti $f_i(2)$ za $i=2, 3,$ $...$, $n$, $...$) nalaze na udaljenosti manjoj od $1.01$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $2$. Neka je sada fiksirana vrednost promenljive $x=x_2=6$, tada će se tek počev od indeksa $n=6$, vrednosti svih funkcija u tački $x=6$ nalaziti na udaljenosti manjoj od $1.01$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $6$. Ključno je istaći da je za različite vrednosti promenljive $x$ potrebno odabrati različite indekse $n_0$ kako bi niz funkcija $f_n $ tačka-po-tačka konvergirao ka funkciji $f$ kad $n \to \infty$. Upravo zbog toga se i kaže da niz konvergira tačka-po-tačka. Sledeći aplet ilustruje ovu ideju.

Primer 9. U ovom primeru, ilustracije radi, biće predstavljen i jedan niz koji nema graničnu vrednost. Neka je dat niz $ f_n(x) = x^2 -\frac{n}{5} $. Korisnik će, pomerajući slajder ili pokretajući animaciju (dugme u donjem levom uglu), koristeći opcije za prikazivanja traga tačke i funkcionalnog niza, uz mogućnost promene položaja tačke $x$, jasno videti da za svako $ x\in \mathbf{R} $ vrednosti funkcija $ f_n(x) $ teže ka $ -\infty $ kad $n \to \infty$.

Primer 10. Razmotrimo niz $ f_n(x) = \cos\left(\frac{n\pi}{1+x^2}\right) $ na $ [-1, 1] $. Za svako $ x\in [-1, 1] $ vidimo da vrednosti funkcija $ f_n(x) $ sve vreme osciliraju, dostižući vrednosti na $y$ osi između $-1$ i $1$. Aplet prikazuje dve proizvoljno odabrane tačke $ x_1 = -0.5 $ i $ x_2 = 0.8 $ i promenu vrednosti niza funkcija u tim tačkama. Korisnik ima opciju prikaza $ \varepsilon $ pojasa za proizvoljno odabrano $ \varepsilon $ (za potrebe ovog primera $ \varepsilon = 0.3$ ). Jasno se vidi da vrednosti funkcija u datim tačkama konstanto ulaze i izlaze iz $ \varepsilon $ pojasa, te da niz očito divergira jer ni za jedno $ n\in \mathbf{N} $ neće biti ispunjen uslov iz definicije 5.

Na drugom apletu mogu se videti promene vrednosti funkcija za $ x = 0 $. Zaista $ f_n(0) =\cos(n\pi) = (-1)^n $ pa će takav niz imati samo dve vrednosti $-1$ i $1$ koje su i njegove tačke nagomilavanja. Sada je i na ovaj način očigledno da niz $ f_n(x) $ nema graničnu vrednost. Takođe, korisnik ovde može prepoznati realni niz iz primera 4 koji je korišćen upravo kao najčešći primer divergentnog niza.

3.2 Ravnomerna konvergencija

Definicija 6.
Neka je $D\subset\mathbf{R}$ i $(f_n)_{n\in \mathbf{N}}$ niz realnih funkcija $f_n:D\rightarrow\mathbf{R}$, $i \in \mathbf{N}$. Niz $(f_n(x))$ ravnomerno (uniformno) konvergira ka funkciji $f:D\rightarrow\mathbf{R}$ na $D$ kad $n\rightarrow\infty$ ako važi

$(\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in\mathbf{N})(\forall x \in D)(\forall n\in \mathbf{N}) $ $(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon).$

U tom slučaju piše se:

$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$ ili samo $f_n\rightrightarrows f$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$.

Dakle, niz $(f_n(x))$ ravnomerno konvergira ka funkciji $f$ na $D$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji indeks $n_0$ niza $(f_n(x))$, takav da za svaki realan broj $x$ iz $D$ važi da je vrednosti svih narednih članova niza (tj. funkcija $f_n(x)$) sa indeksom većim od $n_0$ u tački $x$, na udaljenosti manjoj od $\varepsilon$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $x$.

Razlika između obične i ravnomerne konvergencije

Ključna razlika između definicije ova dva pojma leži u suptilnoj zameni uslova u formulaciji dveju definicija.

$ \qquad \enspace Obična:$ $(\forall\varepsilon>0)(\forall x \in D)(\exists n_0 \in\mathbf{N})(\forall n\in \mathbf{N}) $ $(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)$

$Ravnomerna:$ $(\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in\mathbf{N})(\forall x \in D)(\forall n\in \mathbf{N}) $ $(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)$.

Izrazi ($\exists n_0 \in\mathbf{N}$) i ($\forall x \in D$) menjaju mesta. Drugim rečima, raspored ovih izraza u definiciji obične konvergencije sugeriše da za svako posebno odabrano $x\in D$ postoji neko $n_0 \in\mathbf{N}$ koje odgovara samo tom posebno odabranom $x$, dok uslov u drugoj definiciji zahteva da postoji neko $n_0 \in\mathbf{N}$ koje odgovara svim vrednostima promenjlive $x$ tj. koje je isto za sve vrednosti promenjive $x$ iz $D$. Dakle, indeks $n_0$ u prvoj definiciji pored toga što zavisi od $\varepsilon$ zavisi i od promenljive $x$ i mora joj se prilagođvati, dok u drugoj definiciji ne zavisi od $x$ već samo od $\varepsilon$. Zapravo, ako niz ravnomerno konvergira ka $f$ na $D$, za $\varepsilon>0$ i dovoljno veliko $n$, kompletni grafici svih funkcija (počev od indeksa $n$) tog niza nalaziće se unutar $\varepsilon$-pojasa $(f-\varepsilon,\,f+\varepsilon)$ (formalno $D\times(f-\varepsilon,\,f+\varepsilon)$). Neposredna posledica definicije ravnomerne konvergencije je i implikacija $$(f_n\rightrightarrows f)\Rightarrow(f_n\rightarrow f),\,(n\rightarrow\infty). $$ Ako niz $(f_n(x))$ konvergira ravnomerno ka $f$ na $D$, onda konvergira i tačka-po-tačka ka $f$ na $D$.

Primer 11. Neka je $f_n(x)=x+\frac{1}{n}$. Tada je $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f_n(x)=x.$

Neka je $\varepsilon=0.5$, tada će se vrednosti svih funkcija iz $f_n(x)$, počevši od indeksa $n=2$ nalaziti u intervalu $(f(x)-\varepsilon,\,f(x)+\varepsilon)$ za sve vrednosti promenljive $x$. Niz $f_n(x)$ konvergira ravnomerno ka funkciji $f(x)$.

Primer 12. Neka je $f_n(x)=\sin{x}+\frac{n+1}{n}$. Tada niz konvergira ravnomerno ka funkciji $f(x)= \sin{x} + 1$ na $\mathbf{R}$. Jasno se vidi promena indeksa $n_0$ za različite vrednosti $\varepsilon$ i kako se grafici svih funkcija $f_n(x)$ sa indeksom većim od $n_0$ nalaze u $\varepsilon$-pojasu $\mathbf{R}\times(f-\varepsilon,\,f+\varepsilon)$. U slučaju $\varepsilon=0.7$ prvi član niza koji zadovoljava nejedakost je funkcija $f_2(x)$. Za odabrano $\varepsilon=0.3$, u pitanju je funkcija $f_4(x)$. Pomeranjem slajdera n, (mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja) koraci su vidljivi.

Primer 13. Neka je $f_{n}(x) =\frac{ x} {1 + n^2x^2}$, $x\in \mathbf{R}$. Tada je $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f_n(x)=f(x)=0$ za svako $x\in \mathbf{R}$. Pritom, $|f_n(x)|=\frac{1}{2n}\cdot\frac{2n|x|}{1+n^2x^2}\leq\frac{1}{2n}$ za svako $x\in \mathbf{R}$. Kako bez obzira na vrednost broja $\varepsilon$, važi $\frac{1}{2n}<\varepsilon$ za dovoljno veliko $n$, sledi da će se grafici svih funkcija sa indeksima većim od n nalaziti unutar $\varepsilon$-pojasa $\mathbf{R}\times(f-\varepsilon,f+\varepsilon)$ tj. unutar $\varepsilon$-pojasa $\mathbf{R}\times(-\varepsilon, \varepsilon)$, pa je zaključak da niz $(f_n)$ konvergira ravnomerno ka funkciji $f(x)=0$.
U koracima od 1 do 7, aplet prikazuje prvih nekoliko članova niza $f_n$, kao i graničnu funkciju $f(x)=0$.
Koraci od 8 do 15, ilustruju ograničenost svake od pojedinačnih funkcija $f_n$ vrednostima $\pm\frac{1}{2n}$.
Budući da niz $f_n$ konvergira ka funkciji $f(x)=0$, grafici svih funkcija sa indeksom većim od $n$ nalaziće se unutar pojasa $ \mathbf{R}\times(-\frac{1}{2n},\,+\frac{1}{2n})$. Tada će za proizvoljno $\varepsilon>0$ uvek postojati dovoljno veliko $n$ takvo da se grafici svih funkcija sa indeksom većim od $n$ nalaze unutar $\varepsilon$-pojasa $\mathbf{R}\times(-\varepsilon,\varepsilon)$, tako da niz zaista ravnomerno konvergira ka $f$ na $\mathbf{R}$ (koraci 15 do 19).
U koracima od 20 do 33, vidi se da se za konkretno $\varepsilon=0.2$ grafici svih funkcija počev od funkcije $f_3$ nalaze unutar $\varepsilon$-pojasa $\mathbf{R}\times(f-\varepsilon,f+\varepsilon)$ tj. (kako je $f(x)=0$) unutar pojasa $\mathbf{R}\times(-\varepsilon, \varepsilon)$.
Kao i u svim ostalim apletima, koraci su vidljivi pomeranjem slajdera n (mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja).

Iz same definicije ravnomerne konvergencije očigledno je da ona povlači i običnu (tačka-po-tačka) konvergenciju. Svi prethodni primeri ravnomerno konvergentnih nizova očito su i konvergentni u običnom smislu. Međutim, obratno ne mora da važi. Ako niz konvergira u običnom smislu, to ne znači da on konvergira i ravnomerno. Sledeći primer ilustruje upravo tu činjenicu.

Primer 14. U narednom apletu dat je niz $f_n(x)=\frac{x}{n}$ čija je konvergencija (tačka-po-tačka) već razmatrana u ranijim primerima. Aplet prikazuje da iako taj niz konvergira, on ne konvergira ravnomerno na $\mathbf{R}$.

Primer 15. Neka je $f_n(x)=x^n$ opšti član funkcionalnog niza. Očigledno je da $\displaystyle\lim_{n \to \infty }f_n(x)$ postoji ako i samo ako $x\in A$ $=(-1, 1]$ i da je $$ f(x)=\lim_{n \to \infty }f_n(x)= \left\{ \begin{array}{l l} 0,\, x\in(-1, 1),\\ \\ 1,\, x=1. \end{array} \right.\ $$ U pitanju je još jedan primer niza koji konvergira u običnom smislu ali ne i ravnomerno. Za $x\in(0,\,1)$, ma koliko bilo veliko $n$, kriva $y=x^n$ će uvek imati deo (kad je $x$ dovoljno blizu $1$) koji će izlaziti izvan trake ograničene $x$-osom i pravom $y=\varepsilon$ pa niz $f_n(x)=x^n$, iako konvergira tačka-po-tačka, ne konvergira ravnomerno ka $f(x)$ na $(0,\,1)$. Takođe ilustruje i nešto još bitnije, činjenicu da granična vrednost niza neprekidnih funkcija ne mora biti i sama neprekida funkcija. Naime, sve funkcije $f_n(x)$, $n\in \mathbf{N}$ su neprekidne (elementarne stepene funkcije sa prirodnim eksponentom), dok je granična vrednost niza $(f_n(x))$ prekidna funkcija.

U nastavku navešćemo još jednu formulaciju uslova ravnomerne konvergencije. Za dati niz $f_n(x)$ funkcija $f_n(x): D\rightarrow\mathbf{R}$, $n\in \mathbf{N}$ važi:

$ f_n(x)\rightarrow f(x)(n\rightarrow \infty)\,na\,D\Leftrightarrow$ $(\forall x\in D) \displaystyle \lim_{n \to \infty }{|f_n(x)-f(x)|}=0, $

$ f_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\rightarrow\infty)\,na\,D\Leftrightarrow\,$ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty }{\sup_{x\in D}{|f_n(x)-f(x)|}}=0, $

pa je i odatle jasno da $f_n\rightrightarrows f$ povlači $f_n\rightarrow f$, ali da obratno ne mora da važi.

Primer 16. Neka je $ f_n(x) =\frac{\sin nx}{\sqrt{n}} $ za $n\in \mathbf{N}$ i $ x\in \mathbf{R} $. Za svako fiksirano $ x=x_0 $ biće $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\sin nx_0}{\sqrt{n}}=0$ (limes je jednak nuli kao proizvod nula-niza i ograničenog niza). Dakle niz $f_n(x)$ konvergira u običnom smislu ka graničnoj funkciji $f(x)=0$. Uzimajući u obzir prethodno navedenu formulaciju biće $ \displaystyle\lim_{n \to \infty }{\sup_{x\in \mathbf{R}}{|f_n(x)-f(x)|}}= $ $ \displaystyle\lim_{n \to \infty }{\sup_{x\in \mathbf{R}}{\Bigg|\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\Bigg|}}= $ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$. Sada je evidentno da $f_n\rightrightarrows f$ na $\mathbf{R}$.

Koristeći funkcionalnosti apleta, korisnik može videti da se amplituda vrednosti funkcija za proizvoljnu poziciju tačke $x$ smanjuje kada se $n$ povećava i postepeno ulazi u proizvoljni $ \varepsilon $ pojas. Slično prethodnim apletima, korisnik ima mogućnost pomeranja tačke duž $x$ ose, menjanja veličine $ \varepsilon $ pojasa, uključivanja vidljivosti traga tačke i funkcija kao i pokretanja animacije.

Primer 17. U ovom primeru ilustrovan je niz čiji se tip konvergencije menja u zavisnosti od izbora domena. Niz $ f_n(x) =e^{-nx} $ konvergira tačka-po-tačka ka funkciji $f(x) = 0$ na $ x\in (0, +\infty) $ kad $n\in \mathbf{N}$. Zaista, za svako fiksirano $ x = x_0 \in (0, +\infty) $ biće $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}e^{-nx_0} = $ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{e^{nx_0}}=0 $.

Ako posmatramo ponašanje niza na $(0, 1) $ uočavamo da će za $ x = \frac{1}{n} $ biti $ f_n(x) = f_n(\frac{1}{n}) = \frac{1}{e} $, tako da svakako neće biti ispunjen uslov $ \displaystyle \lim_{n \to \infty }{\sup_{x\in D}{|f_n(x)-f(x)|}}=0 $. Dakle, niz ne konvergira ravnomerno na $(0, 1) $. Ova situacija može se proveriti i grafički. Posmatrajući donji aplet, gde se vide samo restrikcije funkcija na $(0, 1) $, može se primetiti da se njihovi grafici neće u celosti sadržati u proizvoljnom $ \varepsilon $-pojasu počev od nekog dovoljno velikog $ n\in \mathbf{N} $.

Međutim, ponašanje niza na $[1, +\infty) $ je malo drugačije. Imamo $ \displaystyle \lim_{n \to \infty }{\sup_{x\in [1, +\infty ) } {|f_n(x)-f(x)|}}= $ $ \displaystyle\lim_{n \to \infty }{\sup_{x\in [1, +\infty) } |{e^{-nx}}|}= $ $ \displaystyle\lim_{n \to \infty }{\sup_{x\in [1, +\infty)}\Bigg|{\frac{1}{e^{nx}}}\Bigg|}= $ $ \displaystyle\lim_{n \to \infty }{\frac{1}{e^{n}}}= 0$. Očigledno, niz $ f_n(x) $ konvergira ravnomerno na $[1, +\infty) $.
To se može uočiti i na grafičkom prikazu ispod. Vrlo brzo, već posle nekoliko članova, grafici svih ostalih članova, tj. njihovih restrikcija na $[1, +\infty) $, u celosti će se sadržati u proizvoljno odabranom $ \varepsilon $-pojasu.

Košijev princip konvergencije

Kao i u slučaju realnih nizova, Košijev princip konvergencije funkcionalnih nizova omogućava da se o njihovoj ravnomernoj konvergenciji zaključuje na osnovu poznavanja osobina samih članova (realnih funkcija $ f_n(x) $), ne nužno imajući informaciju o graničnoj funkciji $ f(x) $.

Teorema 2. (Košijev princip konvergencije)
Funkcionalni niz $ (f_n(x)) $ realnih funkcija $ f_n:D\rightarrow\mathbf{R} $, $ D\subset \mathbf{R} $, $ n\in \mathbf{N} $, ravnomerno konvergira na $ D $ kad $ n \to \infty $ ako za svako $ \varepsilon>0 $ postoji indeks $ n_0 \in\mathbf{N} $, takav da za svako $ x\in D $ važi da je $ |f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)|<\varepsilon $ čim su indeksi $ n_1, n_2 $ veći od $ n_0 $. Dakle: $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$ ako i samo ako $ (\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in \mathbf{N})(\forall n_1, n_2 \in \mathbf{N})(\forall x \in D) $ $(n_1, n_2>n_0\Longrightarrow |f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)|<\varepsilon $.

Dokaz

Pretpostavimo da $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$. Za dato $ \varepsilon>0 $ odaberimo indeks niza $ n_0 \in\mathbf{N} $ takav da za svako $ x\in \mathbf{D} $ i svako $n > n_0 $ važi $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2} $. Tada će za proizvoljne $ n_1, n_2>n_0 $ i za svako $x \in D$ važiti: $ |f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)| \leq$ $|f_{n_1}(x)-f(x)| + |f(x)-f_{n_2}(x)| $ $<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$, pa je uslov teoreme zadovoljen.
Obratno, fiksiranjem $ x\in \mathbf{D} $, iz uslova teoreme, niz $f_n(x)$ posmatran kao funkcija od $ n \in\mathbf{N} $, zadovoljava Košijev uslov (za realne nizove) za postojanje granične vrednosti $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f_n(x)=f(x)$. Nejednakost $|f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)|<\frac{\varepsilon}{2} $, kao i u prethodnom slučaju, važi za svako $ x\in \mathbf{D} $ i svaki pogodno izabran par indeksa $ n_1, n_2 $. Kako je $\displaystyle \lim_{n_2 \to \infty }f_{n_2}(x)=f(x)$, biće $ |f_{n_1}(x)-f(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$ za svako $ x\in \mathbf{D} $, što povlači $ (f_n\rightrightarrows f) $ $(n\rightarrow\infty) $ na $ D$. $ \small{\blacksquare} $

3.3 Neka funkcionalna svojstva granične funkcije

U ovom odeljku biće reči o ispitivanju nekih osobina same granične funkcije funkcionalnog niza. Biće razmatrani dovoljni uslovi pod kojim je moguća zamena poretka dva limesa, kao i uslovi koji garantuju neprekidnost granične funkcije. Takođe, naveden je i Dinijev stav koji se tiče specijalne situacije kada je ravnomerna konvergencija neophodan uslov neprekidnosti granične funkcije.

Zamena mesta limesa

Vratimo se ponovo na primer 15 gde je niz funkcija zadat opštim članom $f_n(x)=x^n$. Kao što je to ranije navedeno, taj niz konvergira u običnom smislu za $x\in (-1, 1]$ ka graničnoj funkciji: $$ f(x)=\lim_{n \to \infty }f_n(x)= \left\{ \begin{array}{l l} 0,\, x\in(-1, 1),\\ \\ 1,\, x=1. \end{array} \right.\ $$ Pitanje neprekidnosti funkcije $f(x) $ u tački $x=1$ se u stvari svodi na pitanje tačnosti jednakosti:

$ \displaystyle\lim_{x \to 1-0}\lim_{n \to \infty}f_n(x) = $ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\lim_{x \to 1-0}f_n(x) $.

Ovakva zamena mesta graničnih vrednosti u opštem slučaju nije moguća bez dodatnih pretpostavki. Naredna teorema definiše dovoljne uslove koji obezbeđuju takvu zamenu.

Teorema 3. (Zamena mesta limesa)
Neka je $ (f_n(x)) $ niz realnih funkcija $ f_n:D\rightarrow\mathbf{R} $, $ D\subset \mathbf{R} $, $ n\in \mathbf{N} $ i $ x_0 \in \overline{\rm \mathbf{R}}$ tačka nagomilavanja skupa $D$. Ako
1° $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ $ (n \to \infty) $ na $D;$
2° za svako $n\in \mathbf{N}$ postoji $ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f_n(x) = b_n $,
tada postoje $ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)$ i $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$ i važi $ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{n \to \infty}b_n $ tj.

$ \displaystyle \lim_{x \to x_0}\lim_{n \to \infty}f_n(x) = \lim_{n \to \infty}\lim_{x \to x_0}f_n(x). $

Dokaz

Iz uslova 1°, na osnovu teoreme 2. sledi da se za dato $ \varepsilon>0 $ može odrediti indeks niza $ n_0 \in \mathbf{N} $ takav da za sve indekse $ n_1, n_2>n_0 $ i svako $x\in D$ važi $|f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)|<\varepsilon$.
Iz uslova 2° dobijamo da za sve $ n_1, n_2>n_0 $ važi i $|b_{n_1}-b_{n_2}|\leq \varepsilon $. Dakle, niz brojeva $ (b_n) $ zadovoljava Košijev uslov za realne nizove (definicija 3 i teorema 1) za postojanje granične vrednosti $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n = b$. Treba još dokazati da je i $ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) = b$.
Za proizvoljno $ n\in \mathbf{N} $ i $x\in D$ važi:

$|f(x)-b|\leq$ $ |f(x)-f_n(x)| + |f_n(x)-b_n| $ + $|b_n-b|$.

Svaki od sabiraka na desnoj strani može se učiniti proizvoljno malim. Na osnovu 1°, može se odrediti takav indeks niza $ n_0\in \mathbf{N} $ počev od kog za svako $ n>n_0$ i za svako $ x\in \mathbf{R}$ važi $|f(x)-f_n(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$. Na osnovu $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n = b$, slično se može izvesti i za treći sabirak. Moguće je odrediti takav indeks $ m_0\in \mathbf{N} $ da za svako $ n >m_0 $ važi $|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{3}$. Dalje, za proizvoljno $ n>\max\{n_0, m_0\} $, na osnovu 2°, možemo odrediti okolinu $ W $ tačke $x_0 $ takvu da je $|f_n(x)-b_n|<\frac{\varepsilon}{3}$ za sve $ x\in W \cap D $. Za takve $x$ je onda i $|f(x)-b|<\varepsilon$ pa važi $ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) = b $. $ \small{\blacksquare} $

Neprekidnost granične funkcije

Neposredna posledica prethodne teoreme je i sledeće važno tvrđenje koje se odnosi na pitanje neprekidnosti same granične funkcije.

Teorema 4. (Neprekidnost granične funkcije u tački)
Ako niz $ (f_n(x)) $ realnih funkcija $ f_n:D\rightarrow\mathbf{R} $, $ D\subset \mathbf{R} $, $ n\in \mathbf{N} $ neprekidnih u tački $ x_0 \in D$, ravnomerno konvergira na $D$ kad $ n \to \infty$ ka funkciji $ f:D\rightarrow\mathbf{R} $, onda je sama funkcija $f$ neprekidna u tački $ x_0$.

Dokaz

Kako je za svako $n\in \mathbf{N}$ funkcija $ f_n:D\rightarrow\mathbf{R} $ neprekidna u $ x_0 \in D$, sledi da je

$ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f_n(x) = f_n(x_0) $

za svako (fiksirano) $ n\in \mathbf{N} $. Primetimo da je $ f_n(x_0) $ realni niz. Prema teoremi o zameni mesta limesa sledi da postoje $ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) $, i $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(x_0) $ i pri tome važi

$ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) $ $ = $ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(x_0) $

odnosno kako je

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(x_0) = f(x_0)$

dobijamo

$ \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0). $

Dakle funkcija $ f $ je neprekidna u tački $ x_0 $.$ \small{\blacksquare} $

Posledica 1. (Neprekidnost granične funkcije na segmentu)
Ako niz $ (f_n(x)) $ realnih funkcija $ f_n:D\rightarrow\mathbf{R} $, $ D\subset \mathbf{R} $, $ n\in \mathbf{N} $ neprekidnih na $ [a, b] \subset D $, ravnomerno konvergira na $ [a, b] $ kad $ n \to \infty$ ka funkciji $ f:D\rightarrow\mathbf{R} $, onda je sama funkcija $f$ neprekidna na $ [a, b] $.

Stav 1. (Dini)
Neka je $ D\subset \mathbf{R} $ kompaktan (tj. zatvoren i ograničen) skup i neka je za svako $x\in D$ niz $ {(f_n(x))}_{n\in \mathbf{N}} $ monoton (po $ n$) niz neprekidnih funkcija na $ D $. Ako $ f_n(x)\to f(x) $ $ (n \to \infty) $ na $ D $ i ako je $ f:D\rightarrow\mathbf{R} $ neprekidna funkcija, tada $ f_n \rightrightarrows f $ $(n \to \infty) $ na $ D $.

Dokaz

Neka je, bez umanjenja opštosti, niz $ {(f_n(x))}_{n\in \mathbf{N}} $ rastući niz tj. pretpostavimo da počevši od nekog $ n$ za svako $ x \in D$ važi $ f_n(x) \leq f_{n+1}(x) $. Neka je $ \varepsilon>0 $ dati realan broj. Za svako $ x \in D$ moguće je naći indeks $ n_x \in \mathbf{N} $, takav da važi $0 \leq f(x) - f_{n_x}(x) < \varepsilon $. Funkcije $f_n$ i $f$ su neprekidne u tački $x$, pa će i nejednakost $0 \leq f(y) - f_{n_x}(y) < \varepsilon $ važiti za $y$ iz neke okoline $ U(x) $ tačke $x$. Takvu okolinu $ U(x) $ možemo izabrati za svaku tačku $ x \in D$ i dobijena familija $ \{U(x) | x \in D \} $ čini pokrivač kompaktnog skupa $D$ otvorenim skupovima $ U(x) $. Kako je skup $D$ kompaktan, može se izdvojiti konačno mnogo tačaka $x_1$, $x_2$, ... , $x_k \in D $, takvih da okoline $U(x_1) $, $U(x_2) $, ... , $U(x_k) $ same pokrivaju $D$. Neka je sada $$ n_0 = \max\{n_{x_1}, ... , n_{x_k} \}. $$ Tada će za $ n\in \mathbf{N} $, $n>n_0 $ važiti $0 \leq f(y) - f_n(y) < \varepsilon $ za sve $ y \in D$ što znači da niz funkcija $ f_n(y) $ ravnomerno konvergira ka funkciji $ f(y) $ na $D$ kad $(n \to \infty) $. $ \small{\blacksquare} $

Integracija i granični prelaz

Teorema 5. (Integrabilnost granične funkcije)
Neka su $f_n:[a, b]\rightarrow\mathbf{R}$, $[a, b] \subset \mathbf{R}$, integrabilne funkcije za svako $ n\in \mathbf{N}$. Ako $f_n \rightrightarrows f$ $(n\rightarrow\infty)$ na $[a, b]$, onda je i $f$ integrabilna funkcija na $[a, b]$ i važi $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx . $$

Dokaz

Na osnovu ravnomerne konvergencije niza $f_n$, za dato $ \varepsilon>0$ može se odabrati takvo $n_0\in \mathbf{N}$ da za svako $n>n_0$ i svako $x \in [a, b]$ važi \[ f_n(x)-\frac{ \varepsilon}{b-a}< f(x)< f_n(x)+\frac{\varepsilon}{b-a}. \tag{1} \] Za svako takvo $n$, može se odabrati $\delta >0$, tako da za Darbuove sume $S(f_n, P)$ i $s(f_n, P)$ funkcije $f_n$ pri proizvoljnoj podeli $P$ segmenta $[a, b]$ za koju je $ \lambda(P)<\delta$ važi \[ S(f_n, P)-s(f_n, P)<\varepsilon. \tag{2} \] Iz $(1)$ sledi da je \[s(f, P)\ge s(f_n, P)-\varepsilon \tag{3} \] i \[ S(f, P)\le S(f_n, P)+\varepsilon. \tag{4}\] Zatim, proširujući obe strane nejednakosti $(2)$ sa $2\varepsilon$, na osnovu $(3)$ i $(4)$ sledi da je $S(f, P)-s(f, P)<3\varepsilon$ za sve podele $P$ za koje je $ \lambda(P)<\delta$. Funkcija $f$ je integrabilna na $[a, b].$ Na osnovu prethodnog biće $$ \bigg|\int_{a}^{b} f_n(x) \,dx - \int_{a}^{b} f(x) \,dx \bigg|=\bigg|\int_{a}^{b}(f_n(x)-f(x)) \,dx \bigg|\le \int_{a}^{b} |f_n(x)-f(x)|\,dx <\varepsilon$$ odnosno $$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \,dx . $$ $ \small{\blacksquare} $

Diferenciranje i granični prelaz

Naredna teorema opisuje dovoljne uslove za diferencijabilnost kao i za određivanje izvoda granične funkcije. Treba istaći da u opštem slučaju pretpostavljena ravnomerna konvergencija funkcionalnog niza nije dovoljan uslov, iako to jeste bio slučaj u prethodnim situacijama kada je razmatrana neprekidnost i integrabilnost granične funkcije.

Teorema 6. (Diferencijabilnost granične funkcije)
Neka su $f_n:[a, b]\rightarrow\mathbf{R}$, $[a, b] \subset \mathbf{R}$, diferencijabilne funkcije za svako $ n\in \mathbf{N}$. Ako
$1^{\circ}$ niz $(f_n)$ konvergira za neko $x_0 \in [a, b]$ kad $n \to \infty$;
$2^{\circ}$ niz izvodnih funkcija $(f'_n)$ konvergira ravnomerno na $[a, b]$ kad $n \to \infty$,
onda niz $(f_n)$ takođe ravnomerno konvergira na $[a, b]$ ka nekoj diferencijabilnoj funkciji $f$ i za svako $x \in [a, b]$ važi $f'(x)=\displaystyle \lim_{n\to\infty} f'_n(x).$

Dokaz

Prvi deo dokaza odnosi se na ravnomernu konvergenciju niza $(f_n)$ na $[a, b]$. Za dato $\varepsilon>0$, na osnovu $1^{\circ}$, može se odabrati takvo $n_0\in \mathbf{N}$ da za sve $n_1, n_2>n_0$ važi \[ \big|f_{n_1}(x_0)-f_{n_2}(x_0) \big| < \frac{\varepsilon}{2}. \tag{1} \] Primenom teoreme o srednjoj vrednosti na razliku funkcija $f_{n_1}-f_{n_2}$ na intervalu $[x_0, x]$ za proizvoljno $x \in [a, b],$ biće \[ \frac{(f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x))-(f_{n_1}(x_0)-f_{n_2}(x_0))}{x-x_0}=f'_{n_1}(c)-f'_{n_2}(c), \] odnosno \[ \frac{f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)-f_{n_1}(x_0)+f_{n_2}(x_0)}{x-x_0}=f'_{n_1}(c)-f'_{n_2}(c), \tag{2} \] za neko $c \in (x_0, x).$ Na osnovu $2^{\circ}$, pogodnim izborom indeksa $n_0$, može se postići da za sve $c \in [a, b]$ važi \[ \big|f'_{n_1}(c)-f'_{n_2}(c) \big|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}.\tag{3}\] Tada iz $ (2) $ sledi \[ \big|f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)-f_{n_1}(x_0)+f_{n_2}(x_0) \big|< \frac{\varepsilon \cdot |x-x_0|}{2(b-a)}<\frac{\varepsilon}{2}.\tag{4} \] Zatim, kako je $$\big|f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x) \big| \le \big| f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x)-f_{n_1}(x_0)+f_{n_2}(x_0) \big|+\big| f_{n_1}(x_0)-f_{n_2}(x_0) \big| $$ na osnovu $ (1) $ i $(4)$ biće $\big| f_{n_1}(x)-f_{n_2}(x) \big|<\varepsilon$ za svako $x \in [a, b]$ i sve $n_1, n_2>n_0$, što znači da niz $(f_n)$ ravnomerno konvergira na $[a, b]$ kad $n\rightarrow\infty$, ka nekoj funkciji $f:[a, b]\rightarrow\mathbf{R}$, čime je prvi deo dokaza završen. Neka je sada $x$ proizvoljna tačka iz $[a, b]$ i neka je funkcija $$\varphi_n(h)=\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h},$$ definisana za one $h\in \mathbf{R} \setminus \{0\}$ za koje je $x+h \in [a, b].$ Očito je da je $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \varphi_n(h)=f'_n(x).$ Potrebno je još dokazati i da niz $(\varphi_n)$ ravnomerno konvergira po $h$ kad $n \to \infty$ na pomenutom skupu. Primenom teoreme o srednjoj vrednosti na razliku funkcija $f_{n_1}-f_{n_2}$, ovoga puta na segmentu $[x, x+h]$, dobija se \[ \varphi_{n_1}(h)-\varphi_{n_2}(h)= \frac{f_{n_1}(x+h)-f_{n_1}(x)}{h} - \frac{f_{n_2}(x+h)-f_{n_2}(x)}{h} = f'_{n_1}(c)-f'_{n_2}(c) \] za neko $c \in (x, x+h)$, pa iz $(3)$ sledi \[ \big|\varphi_{n_1}(h)-\varphi_{n_2}(h) \big|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}\] za proizvoljno, unapred zadato $\varepsilon>0$ i sve $n_1, n_2 > n_0$. Primenom teoreme 3 na niz $(\varphi_n(h)) $ može se zaključiti da njena granična funkcija $$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ ima limes kad $h\rightarrow 0$ i da je on jednak $ \displaystyle \lim_{n \to \infty } \lim_{h \to 0 }\varphi_n(h)= \lim_{n \to \infty }f'_n(x).$ Dakle, funkcija $f$ je diferencijabilna u tački $x$ i važi $$\displaystyle f'(x) = \lim_{n \to \infty }f'_n(x).$$ $ \small{\blacksquare} $

Treba istaći značaj uslova $1^{\circ}$ prethodne teoreme. Razmotrimo na prmer niz $f_n(x)=x+n$. Kako je $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (x+n)=\infty$ tj. niz određeno divergira za svako $x \in \mathbf{R}$, niz očigledno ne konvergira ni za jedno $x \in \mathbf{R}$. Međutim niz izvodnih funkcija $f'_n(x)=1$ ravnomerno konvergira (ka konstantoj funkciji $h(x)=1$) na $\mathbf{R}$ kad $n \to \infty$. Očito je da zaključak teoreme ne važi jer niz $f_n(x)=x+n$ ne samo da ne konvergira ravnomerno, već kao što je ranije istaknuto, određeno divergira na $\mathbf{R}$ kad $n \to \infty$. Sličan se zaključak može izveti i na primeru niza $f_n(x)=x+(-1)^n$. U ovom slučaju niz divergira za svako $x \in \mathbf{R}$ kad $n \to \infty$ (članovi ovog niza naizmenično su funkcije: $f_1(x)=x-1$, $f_2(x)=x+1$, $f_3(x)=x-1$, $f_4(x)=x+1$, ...) dok niz izvodnih funkcija $f'_n(x)=1$ takođe ravnomerno konvergira na $\mathbf{R}$ kad $n \to \infty$.