1. Uvod i motivacija

Funkcionalni nizovi predstavljaju bitan deo kursa Matematičke analize 2 na Matematičkom fakultetu, odnosno kurseva matematike na višim godinama studija na većini prirodno orijentisanih fakulteta. Budući da su osnov za izgradnju mnogih drugih, dosta apstraktnijih, matematičkih teorija, od velikog je značaja dobro usvojiti fundamentalne ideje ove oblasti.

Ovaj rad ima za cilj da se osnovne ideje teorije funkcionalnih nizova, konkretno pojam konvergencije, predstave na što jednostavniji način, uz dosta primera, bez preteranog insistiranja na matematičkom formalizmu, zadiranja u dubinu i dalje apstraktizacije pomenute teorije.

Upotrebljen je vizualni pristup, sa više grafičkih prikaza nego što je to inače slučaj kada se ova tema obradjuje.

Izlaganje je bazirano na velikom broju autorskih interaktivnih dinamičkih apleta izrađenih pomoću softvera GeoGebra. Na taj način predstavlja svojevrstan metodički doprinos izlaganju klasične teme upotrebom modernih edukativnih tehnologija.

Dakle, rad je osmišjen delom kao metodički priručnik za izvođenje nastave, odnosno dodatak za studente u cilju lakšeg praćenja kursa i usvajanja osnovnih ideja pojma konvergencije funkcionalnih nizova kao uvod u apstraktnije oblasti.

1 / 9

2 / 9

3 / 9

4 / 9

5 / 9

6 / 9

7 / 9

8 / 9

9 / 9

2. Realni nizovi

Pre razmatranja pojma funkcionalnih nizova, neophodno je prethodno razmotriti i poznavati osnovna svojstva nizova realnih brojeva tj. realnih nizova. U daljem tekstu biće navedene samo osnovne definicije i tvrdjenja neophodnih za dalja izlganja. Izvestan nivo predznanja je pretpostavljen.

Definicija 1.
Svaka funkcija $ a:{\Bbb N} \to {\Bbb R} $ koja preslikava skup prirodnih brojeva u skup realnih, predstavlja niz realnih brojeva.
Vrednost $ a(n) $ funkcije $ a $ u tački $ n \in {\Bbb N} $ označava se sa $ (a_n)_{n \in {\Bbb N}} $ ili kraće $ (a_n) $.

Primer 1. Neka je $ (a_n)=(\frac{1}{n}) $, tada su članovi tog niza brojevi:
$a_1=a(1)=\frac{1}{1},\, a_2=a(2)=\frac{1}{2} $ $,\,a_3=a(3)=\frac{1}{3}, \,...,$ $ \,a_n=a(n)=\frac{1}{n},\,...$

Povlačenjem slajdera n (mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja) korisnik može redom videti prvih 100 članova niza.

Ključno u ovom razmatranju, što se često ispušta iz vida, jeste percepcija niza kao funkcije, sa domenom $ {\Bbb N} $, koja svakom prirodnom broju dodeljuje realni. Njen grafik predstavlja skup tačaka u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu. Treba istaći da se u praksi (i literaturi) najčešće koristi drugačija grafička interpretacija niza, pomoću brojevne prave, koja zapravo reprezentuje samo osu ordinate, odnosno osu vrednosti niza posmatranog kao funkciju jedne (prirodne) promenljive.

Definicija 2.
Tačka $ a \in {\Bbb R} $ naziva se limes ili granična vrednost niza $ (a_n) $ realnih brojeva u oznaci $a=\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n$, ako i samo ako važi: $$(\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in \mathbf{N})(\forall n \in \mathbf{N})(n>n_0\Longrightarrow |a_n-a|<\varepsilon). $$ Niz $(a_n)$ je konvergentan ako i samo ako postoji granična vrednost$a=\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n$. Tada se za niz $(a_n)$ kaže da teži ka $ a $ kad $ n $ teži $\infty $ i piše: $a_n\rightarrow a\, (n\rightarrow \infty) $. Niz $(a_n)$ je divergentan ako nije konvergentan tj. ako ne postoji granična vrednost $a=\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n$. Specijalno, kažemo da niz $ (a_n)$ divergira ka $ +\infty$ i pišemo $\displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n=+\infty$, ako za svaki broj $K>0 $ postoji $n_0 \in\mathbf{N}$ takav da za svako $n \in \mathbf{N}$ važi $(n>n_0)\Longrightarrow (a_n>K)$. Analogno, kažemo da niz $ (a_n)$ divergira ka $-\infty$ i pišemo $ \displaystyle\lim_{n \to \infty }a_n=-\infty$, ako za svaki broj $K<0$ postoji $n_0 \in\mathbf{N}$, takav da za svako $ n \in \mathbf{N} $ važi $ (n>n_0) \Longrightarrow (a_n< K) $.

Drugim rečima, tačka $ a $ je limes niza $ (a_n)$ ako i samo ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj $\varepsilon$ postoji takav indeks $n_0$ niza $a_n$, počev od kog se svi elementi sa indeksom većim od $ n_0$ nalaze na udaljenosti manjoj od $\varepsilon$ od vrednosti $a$. Dakle, može se reći da se u proizvoljno maloj okolini tačke $ a $ nalazi beskonačno mnogo članova niza a van te okoline samo konačno mnogo tj. u $\varepsilon$-okolini tačke $ a $ nalaze se skoro svi članovi tog niza. Pritom, ključno je istaći da je tačka $ a $ limes niza realnih brojeva, realan broj.

Primer 2. Na primeru istog niza, sada se može istaći njegova granična vrednost.

Primer 3. U sledećem apletu korisnik može menjati širinu $\varepsilon$-okoline tačke 0 i tako jasno videti od kog člana niza se svi ostali nalaze u toj okolini.

Primer 4. Niz koji ima dve tačke nagomilavanja nema graničnu vrednost jer se beskonačno mnogo članova niza sadrži u okolinama obe tačke nagomilavanja. Samim tim, isključena je mogućnost da se van $\varepsilon$-okoline jedne tačke nalazi samo konačan broj članova.

3. Funkcionalni nizovi

U prethodnom odeljku bilo je reči o nizovima čiji su članovi realni brojevi. Medjutim, članovi niza mogu biti i elementi nekog drugog skupa, ne nužno brojevi.

Definicija 3.
Ako su članovi niza realne funkcije $ f_i:D\rightarrow\mathbf{R} $, $ D\subset \mathbf{R} $, $ i\in \mathbf{N} $, tada je reč o nizu realnih funkcija odnosno o funkcionalnom nizu $ (f_n(x))$. Takav niz definiše se kao funkcija koja preslikava skup prirodnih brojeva u skup realnih funkcija jedne promenljive. Vrednosti takvog niza, odnosno njegovi članovi, su realne funkcije. Opšti član funkcionalnog niza obeležava se sa $ f_n(x)$.

Primer 5. Neka je dat funkcionalni niz sa opštim članom $f_n(x)=\frac{x}{n}$. Tada su članovi tog niza funkcije: $f_1(x)=\frac{x}{1}=x$, $f_2(x)=\frac{x}{2}$, $f_3(x)=\frac{x}{3}$, $...$, $f_n(x)=\frac{x}{n}$, $...$
Na osnovu apleta koji prikazuje članove niza, student već može intuitivno izvesti zaključke o limesu niza.

3.1. Obična (tačka-po-tačka) konvergencija

Granična vrednost (konvergentnog) realnog niza je realni broj. Analogno, granična vrednost (konvergentnog) funkcionalnog niza je funkcija.

Definicija 4.
Neka je $D\subset\mathbf{R}$ i $(f_n(x))_{n\in \mathbf{N}}$ niz realnih funkcija $f_i:D\rightarrow\mathbf{R}$, $i \in \mathbf{N}$. Niz $(f_n(x))$ konvergira ka funkciji $f:D\rightarrow\mathbf{R}$ na $D$ kad $n\rightarrow\infty$ ako za svako $x \in D$ važi $$f(x)=\lim_{n \to \infty }f_n(x).$$ Za niz $(f_n(x))$ još se kaže da konvergira u običnom smislu odnosno tačka-po-tačka ka funkciji $f$ i piše se $f_n(x)\rightarrow f(x)$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$. Formalno:

$f_n(x)\rightarrow f(x)\,(n\rightarrow\infty)\, na\, D\Longleftrightarrow $
$ (\forall\varepsilon>0)(\forall x \in D)(\exists n_0 \in\mathbf{N})(\forall n\in \mathbf{N})(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon).$

Drugim rečima, funkcija $f$ je granična vrednost funkcionalnog niza $(f_n(x))$ ako za svaku fiksiranu vrednost promenljive $x$, npr. za $x=x_0$, brojevni niz $f_n(x_0)$ tj. niz vrednosti funkcija $ f_i$ u tački $x=x_0$, konvergira ka vrednosti funkcije $f$ u istoj toj tački. Na taj način, obična konvergencija funkcionalnog niza svodi se na pitanje konvergencije realnih nizova.

Primer 6. Neka je ponovo dat funkcionalni niz sa opštim članom $f_n(x)=\frac{x}{n}$ iz Primera 5.
Razmotrimo ovaj primer detaljnije. Neka je $ x=3$ fiksirana vrednost promenljive $ x$. Tada u tački $ x=3$ postoji niz vrednosti funkcija $ f_1(3)=3$, $ f_2(3)=\frac{3}{2}$, $ f_3(3)=\frac{3}{3}$, $ ...$, $ f_n(3)=\frac{3}{n}$, $ ...$ Niz $ (f_n(3))$ je realni niz, sa opštim članom $ f_n(3)=\frac{3}{n}$ i kao takav, konvergira ka broju $ 0$, što je ujedno i vrednost granične funkcije $ f$ u tački $ x=3$ tj. $ f(3)=0$.
Analogno, neka je sada na primer $ x=5.5$ fiksirana vrednost promenljive $ x$. Tada u tački $ x=5.5$ postoji niz vrednosti funkcija $ f_1(5.5)=5.5$, $ f_2(5.5)=\frac{5.5}{2}$, $ ...$, $ f_{100}(5.5)=\frac{5.5}{n}$, $ ...$ Niz $ (f_n(5.5))$ je realni niz, sa opštim članom $ f_n(5.5)=\frac{5.5}{n}$, i kao takav, konvergira ka broju $ 0$, što je ujedno i vrednost granične funkcije $ f$ u tački $ x=5.5$ tj. $ f(5.5)=0$.
Zapravo, za bilo koju fiksiranu vrednost $ x=x_0$ imaćemo realni niz $ (f_n(x_0))$ sa opštim članom $ f_n(x_0)=\frac{x_0}{n}$. Kako je $ x_0$ konstanta, jasno je da će svaki takav niz konvergirati ka vrednosti 0, što se opet poklapa sa vrednošću granične funkcije $ f$ u svakoj tački $ x=x_0.$

Primer 7. U naredna dva GeoGebra apleta, korisnik se može i sam uveriti u prethodno navedene zaključke.
Prvi aplet se ponovo odnosi na isti funkcionalni niz iz ranijih primera, ali ovoga puta korisnik ima apsolutno slobodu u odabiru vrednosti promenljive x (tačku x je moguće pomerati mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja).
Pomeranjem slajdera n moguće je videti ponašanje prvih 150 članova funkcionalnog niza (slajder n moguće je pomerati na prethodno opisan način).
Korisniku je na ekranu vidjiva vrednost konkretnog člana niza u posmatranoj tački (u svakom trenutku na ekranu) kao i limes niza tih vrednosti (kada slajder dodje do kraja).
Dugme TRAG omogućava korisniku isticanja svih tačaka grafika koje odgovaraju vrednostima članova funkcionalnog niza u posmatranoj tački x (na taj način stiče se bolji vizualni doživalj niza).
Dugme OBRIŠI vraća aplet u početni položaj i isključuje opciju TRAG.

Drugi aplet funkcioniše po istom principu ali je zastupljen funkcionalni niz $ f_n(x)=sinx + \frac{1}{n}$, odabran tako da granična vrednost ovoga puta ne bude konstantna funkcija $ f(x)=0$.

Osvrnimo se sada i na formalnu definiciju. Dakle, niz $(f_n(x))$ konvergira tačka-po-tačka ka funkciji $f$ na $D\subset \mathbf{R}$ ako i samo ako za svaki (proizvoljno mali) pozitivan broj $\varepsilon$ i za svaki realan broj $x$ iz $D$, postoji takav indeks $n_0$ niza $(f_n(x))$, počev od kog je udaljenost vrednosti svih ostalih članova niza (tj. funkcija $f_i(x)$) sa indeksom većim od $n_o$ u tački $x$, na udaljenosti manjoj od $\varepsilon$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $x$. Drugim rečima, za svaku vrednost promenljive $x$ iz $D$ postoji funkcija $f_{n_0}$ počev od koje će se vrednosti svih ostalih funkcija u tački $x$ iz tog niza nalaziti u $\varepsilon$-okolini vrednosti granične funkcije $f$ u tački $x$ tj. unutar intervala ($f(x)-\varepsilon$, $f(x)+\varepsilon$) za proizvoljnu pozitivnu vrednost $\varepsilon$.

Primer 8. Razmotrimo ponovo funkcionlni niz $f_n(x)=\frac{x}{n}$ iz prethodnog primera. Neka je $\varepsilon=1.01$, tada se za fiksirano $x=x_1=2$, vrednosti svih funkcija u tački $x=2$, počev od indeksa $n=2$ (tj. vrednosti $f_i(2)$ za $i=2, 3,$ $...$, $n$, $...$) nalaze na udaljenosti manjoj od $1.01$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $2$. Neka je sada fiksirana vrednost promenljive $x=x_2=6$, tada će se tek počev od indeksa $n=6$, vrednosti svih funkcija u tački $x=6$ nalaziti na udaljenosti manjoj od $1.01$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $6$. Ključno je istaći da je za različite vrednosti promenljive $x$ potrebno odabrati različite indekse $n_0$ da bi važila definicija. Upravo zbog toga se i kaže da niz konvergira taćka-po-tačka. Sledeći aplet ilustruje ovu ideju.

3.2. Ravnomerna konvergencija

Definicija 5.
Neka je $D\subset\mathbf{R}$ i $(f_n(x))_{n\in \mathbf{N}}$ niz realnih funkcija $f_i:D\rightarrow\mathbf{R}$, $i \in \mathbf{N}$. Niz $(f_n(x))$ ravnomerno (uniformno) konvergira ka funkciji $f:D\rightarrow\mathbf{R}$ na $D$ kad $n\rightarrow\infty$ ako važi

$$ (\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in\mathbf{N})(\forall x \in D)(\forall n\in \mathbf{N})(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon).$$

U tom slučaju piše se:

$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$ ili samo $f_n\rightrightarrows f$ $(n\rightarrow\infty)$ na $D$.

Dakle, niz $(f_n(x))$ ravnomerno konvergira ka funkciji $f$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji indeks $n_0$ niza $(f_n(x))$, takav da za svaki realan broj $x$ iz $D$ važi da je vrednosti svih ostalih članova niza (tj. funkcija $f_i(x)$) sa indeksom većim od $n_o$ u tački $x$, na udaljenosti manjoj od $\varepsilon$ od vrednosti granične funkcije $f$ u tački $x$.

Razlika između obične i ravnomerne konvergencije

Ključna razlika između definicije ova dva pojma leži u suptilnoj zameni uslova u formulaciji dveju definicija.

$ \qquad \enspace Obična:(\forall\varepsilon>0)(\forall x \in D)(\exists n_0 \in\mathbf{N})(\forall n\in \mathbf{N})(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)$

$Ravnomerna: (\forall\varepsilon>0)(\exists n_0 \in\mathbf{N})(\forall x \in D)(\forall n\in \mathbf{N})(n>n_0\Longrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)$.

Izrazi ($\exists n_0 \in\mathbf{N}$) i ($\forall x \in D$) menjaju mesta. Drugim rečima, raspored ovih izraza u definiciji obične konvergencije sugeriše da za svako posebno odabrano $x\in D$ postoji po neko $n_0 \in\mathbf{N}$ koje odgovara samo tom posebno odabranom $x$, dok uslov u drugoj definiciji zahteva da postoji neko $n_0 \in\mathbf{N}$ koje odgovara svim vrednostima promenjlive $x$ tj. koje je isto za sve vrednosti promenjive $x$ na $D$. Dakle, indeks $n_0$ u prvoj definiciji pored toga što zavisi od $\varepsilon$ zavisi i od promenljive $x$ i mora joj se prilagođvati, dok u drugoj definiciji ne zavisi od $x$ već samo od $\varepsilon$. Zapravo, ako niz ravnomerno konvergira ka $f$, za $\varepsilon>0$ i dovoljno veliko $n$, kompletni grafici svih funkcija (počev od indeksa $n$) tog niza nalaziće se unutar trake $(f-\varepsilon,\,f+\varepsilon)$. Neposredna posledica definicije ravnomerne konvergencije je i implikacija $$(f_n\rightrightarrows f)\Rightarrow(f_n\rightarrow f),\,(n\rightarrow\infty). $$ Ako niz $(f_n(x))$ konvergira ravnomerno ka $f$ na $D$, onda konvergira i tačka-po-tačka ka $f$ na $D$.

Primer 9. Neka je $f_n(x)=x+\frac{1}{n}$. Tada je $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f_n(x)=x.$

Neka je $\varepsilon=0.5$, tada će vrednosti svih funkcija iz $f_n(x)$, počevši od indeksa $n=2$ nalaziti u intervalu $(f(x)-\varepsilon,\,f(x)+\varepsilon)$ za sve vrednosti promenljive $x$. Niz $f_n(x)$ konvergira ravnomerno ka funkciji $f(x)$

Primer 10. Neka je $f_n(x)=\sin{x}+\frac{n+1}{n}$. Tada niz konvergira ravnomerno ka funkciji $f(x)= \sin{x} + 1$, $x\in \mathbf{R}$. Jasno se vidi promena indeksa $n_0$ za različite vrednosti $\varepsilon$ i kako se grafici svih funkcija $f_i(x)$ sa indeksom većim od $n_0$ nalaze u traci $(f-\varepsilon,\,f+\varepsilon)$. U slučaju $\varepsilon=0.7$ prvi član niza koji zadovoljava nejedakost je funkcija $f_2(x)$. Za odabrano $\varepsilon=0.3$, u pitanju je funkcija $f_4(x)$. Pomeranjem slajdera n, (mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja) koraci su vidljivi.

Primer 11. Neka je $f_{n}(x) =\frac{ x} {1 + n^2x^2}$, $x\in \mathbf{R}$. Tada je $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f_n(x)=f(x)=0$ za svako $x\in \mathbf{R}$. Pritom, $|f_n(x)|=\frac{1}{2n}\cdot\frac{2n|x|}{1+n^2x^2}\leq\frac{1}{2n}$ za svako $x\in \mathbf{R}$. Kako bez obzira na vrednost broja $\varepsilon$, važi $\frac{1}{2n}<\varepsilon$ za dovoljno veliko $n$, sledi da će se grafici svih funkcija sa indeksima većim od n nalaziti unutar trake $(f-\varepsilon,\,f+\varepsilon)$ tj. unutar trake $(-\varepsilon,\,\varepsilon)$, pa je zaključak da niz $(f_n)$ konvergira ravnomerno ka funkciji $f(x)=0$.
U koracima od 1 do 7, aplet prikazuje prvih nekoliko članova niza $f_n$, kao i graničnu funkciju $f(x)=0$.
Koraci od 8 do 15, ilustruju ograničenost svake od pojedinačnih funkcija $f_n$ vrednostima $\pm\frac{1}{2n}$.
Budući da niz $f_n$ konvergira ka funkciji $f(x)=0$, grafici svih funkcija sa indeksom većim od $n$ nalaziće se unutar trake $|y|<\frac{1}{2n}$. Tada će za proizvoljno $\varepsilon>0$ uvek postojati dovoljno veliko $n$ takvo da se grafici svih funkcija sa indeksom većim od $n$ nalaze unutar trake $|y|<\varepsilon$ tako da niz zaista ravnomerno konvergira ka $f$ na $\mathbf{R}$ (koraci 15 do 19).
U koracima od 20 do 33, vidi se da se za konkretno $\varepsilon=0.2$ grafici svih funkcija počev od funkcije $f_3$ nalaze unutar trake $(f-\varepsilon,\,f+\varepsilon)$ tj. (kako je $f(x)=0$) $(-\varepsilon,\,\varepsilon)$ ili kraće unutar trake $|y|<\varepsilon$.
Kao i u svim ostalim apletima, koraci su vidljivi pomeranjem slajdera n (mišem ili strelicama na tastaturi, nakon selektovanja).

Iz same definicije ravnomerne konvergencije očigledno je da ona povlači i običnu (tačka-po-tačka) konvergenciju. Svi prethodni primeri ravnomerno konvergentnih nizova očito su i konvergentni u običnom smislu. Međutim, obrnto ne mora da važi. Ako niz konvergira u običnom smislu, to ne znači da on konvergira i ravnomerno. Sledeći primer ilustruje upravo tu činjenicu.

Primer 12. U narednom apletu dat je niz $f_n(x)=\frac{x}{n}$ čija je konvergencija (tačka-po-tačka) već razmatrana u ranijim primerima. Aplet prikazuje da iako taj niz konvergira, on ne konvergira ravnomerno.

Primer 13. Neka je $f_n(x)=x^n$ opšti član funkcionalnog niza. Očigledno je da $\displaystyle\lim_{n \to \infty }f_n(x)$ postoji ako i samo ako $x\in A$ $=(-1, 1]$ i da je $$ f(x)=\lim_{n \to \infty }f_n(x)= \left\{ \begin{array}{l l} 0,\, x\in(-1, 1)\\ \\ 1,\, x=1. \end{array} \right.\ $$ U pitanju je još jedan primer niza koji konvergira u običnom smislu ali ne i ravnomerno. Za $x\in(0,\,1)$, ma koliko bilo veliko $n$, kriva $y=x^n$ će uvek imati deo (kad je $x$ dovoljno blizu $1$) koji će izlaziti izvan trake ograničene $x$-osom i pravom $y=\varepsilon$ pa niz $f_n(x)=x^n$, iako konvergira tačka-po-tačka, ne konvergira ravnomerno ka $f(x)$ na $(0,\,1)$.* Takođe ilustruje i nešto još bitnije, činjenicu da granična vrednost niza neprekidnih funkcija ne mora biti i sama neprekida funkcija. Naime, sve funkcije $f_i(x)$, $i\in \mathbf{N}$ su neprekidne (elementarne stepene funkcije sa prirodnim eksponentom), dok je granična vrednost niza $(f_n(x))$ prekidna funkcija.

Za kraj biće navedena još jedna formulacija uslova ravnomerne konvergencije. Za dati niz $f_n(x)$ funkcija $f_i(x): D\rightarrow\mathbf{R}$, $i\in \mathbf{N}$ važi:

$$ f_n(x)\rightarrow f(x)(n\rightarrow \infty)\,na\,D\Leftrightarrow(\forall x\in D)\lim_{n \to \infty }{|f_n(x)-f(x)|}=0, $$ $$ f_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\rightarrow\infty)\,na\,D\Leftrightarrow\,\lim_{n \to \infty }{\sup{|f_n(x)-f(x)|}}=0, $$

pa je i odatle jasno da $f_n\rightrightarrows f$ povlači $f_n\rightarrow f$, ali da obrnuto ne mora da važi.