3 Жорданова мера скупа.
[уреди] Иван Милосављевић - Жорданова мера скупа.
Нека су <матх> а = (а_{1},а_{2},...,а_{н}) </матх> и <матх> б = (б_{1},б_{2},...,б_{н})</матх> две тачке у простору <матх>Р^{н}</матх>. Скуп <матх>И_{а,б} = \{ x\ин Р^{н} | а_{и}\леq x_{и} \леq б_{и}, и = 1 ,..., н \}</матх> назваћемо сегментом у простору <матх>Р^{н}</матх>. Приметимо да за н=2, сегмент је правогаоник, за н=3 је квадар; сегмент у простору <матх>Р^{н}</матх> је правоугли н-паралелопипед.
Мера <матх>\му I _{а,б}</матх> сегмента
<матх>И_{а,б}</матх> је број <матх>\му И_{а,б}=\прод^{н}_{и=1}</матх> (<матх>б_{и}-а_{и}</матх>).
Нека су <матх>И_{и}</матх>=[<матх>а_{и},б_{и}</матх>], <матх>и=1,...,н</матх>, сегменти на Р. Тада <матх>И_{а,б}=\прод^{н}_{и=1} И_{и}</матх>, где је <матх>а = (а_{1},...,н),б = (б_{1},...,н)</матх>. На сегменту <матх>И_{и}</матх> уоцхимо поделу <матх>П_{и}= \{x_{и}^{0},x_{и}^{1},...,x_{и}^{н}\}, и=1,...,н </матх>. Декартов производ
<матх>П=П_{1}</матх>x ... x <матх>П_{н} = \{(x_{1},...,x_{н}) \ин Р^{н} | x_{и} \ин П_{и}, и=1,...,н\}</матх>
је подела сегмента <матх>И_{а,б}</матх>. Та подела одредјује сегменте <матх>[x_{1}^{ј_{и}},x_{1}^{ј_{и}+1} ]</матх> x ... x <матх>[x_{н}^{ј_{н}},x_{н}^{ј_{н}+1} ]</матх>
које назовимо подсегментима у односу на сегменту <матх>И_{а,б}</матх>. Поделу П неког сегмента <матх>И_{а,б}</матх> јосх ћемо представљати у облику скупа подсегмената <матх>I^{1},..., I^{к}</матх> тј. <матх>П = \{I^{1},..., I^{к}\}</матх>.
слика координатног система у $Р^{2}$ са правоугаоником подељеним на квадратицима и слика координатног система у <матх>Р^{3}</матх> са квадром подељеним на коцкице.
Са <матх>\ундерлине{w}_{п}(А)</матх> ознацхицемо унију свих оних подсегмената
поделе П који се састоје само од унутрасхњих тацхака скупа А, а са
<матх>\оверлине{w}_{п}(А)</матх> унију свих подсегмената који садрзхе бар неку
тацхку скупа <матх>А \цуп \партиал А</матх>. Збир мера свих подсегмената из
<матх>\ундерлине{w}_{п}(А)</матх>, односно <матх>\оверлине{w}_{п}(А)</матх> ознацхицемо са
<матх>|\ундерлине{w}_{п}(А)|</матх>, односно <матх>|\оверлине{w}_{п}(А)|</матх>, односно
<матх>|\ундерлине{w}_{п}(А)|</матх> (крацје <матх>|\ундерлине{w}_{п}|</матх>, односно
<матх>|\оверлине{w}_{п}|</матх>, ако се зна о ком се скупу А ради).
Имамо да је: <матх>суп_{П}|\ундерлине{w}_{п}(А)|= \му_{и}А</матх> и <матх>инф_{П}|\оверлине{w}_{п}(А)|= \му_{е}А</матх>
Број <матх>\му_{и}А</матх> називамо унутрасхњом, а број <матх>\му_{е}А</матх> спољасхњом Зхордановом мером скупа А (унутрасхњом и спољасхњом н-димензионалном мером). Оцхито је <матх>\му_{и}А \леq \му_{е}А</матх>.
Дефиниција 1:
Ако је <матх>\му_{и}А=\му_{е}А</матх>, онда казхемо да је скуп А мерљив по (Зхордану), а тај број ознацхавамо са <матх>\му А</матх> и називамо н-димензионалном Зхордановом мером скупа А.
Својства Зхорданове мере </П Приметимо најпре да за сваки мерљив скуп <матх>А \субсет Р^{н}</матх> вазхи <матх>\му А \геq 0</матх>. Став 1. Ако су <матх>А,Б \субсет Р^{н}</матх> мерљиви скупови и <матх>А \субсет Б</матх>, онда је <матх>\му А \леq \му Б</матх>. Доказ. За сваку поделу П је <матх>\ундерлине{w}_{п}(А) \субсет \ундерлине{w}_{п}(Б)</матх>, одакле је <матх>|\ундерлине{w}_{п}(А)| \леq |\ундерлине{w}_{п}(Б)|</матх>, схто даје <матх>\му_{и} А \леq \му_{и} Б</матх>. Дакле и <матх>\му А \леq \му Б</матх>. Став 2. Ако је <матх>А \субсет Р^{н}</матх> отворен и мерљив скуп, онда је <матх>\му А > 0</матх>. Доказ. Постоје тацхка <матх>x\ин А</матх> и кугла <матх>К(x,р) \субсет А, р > 0</матх>. Но, тада постоји сегмент <матх>И_{а,б}</матх> уписан у <матх>К(x,р)</матх>. Из <матх>\му И_{а,б} > 0</матх> и претходног става следи тврдјење. Став 3. Мера скупа А једнака је нули акко за произвољно <матх>\варепсилон > 0</матх> постоји подела П, тако да је <матх>|\оверлине{w}_{п} (А)| < \варепсилон</матх>. Доказ. Да је услов неопходан следи из <матх>инф_{П}|\оверлине{w}_{п}(А)|</матх>, а из <матх>суп_{П}|\ундерлине{w}_{п}(А)| \леq \варепсилон </матх> и цхињенице да је <матх>\варепсилон</матх> произвољно мало да следи <матх>\му_{е} А=0</матх>, па је услов и довољан. Теорема 1. Ако је <матх>А \субсет Р^{н}</матх> ограницхен скуп, онда је <матх>\му_{е}\партиал А = \му_{е}А-\му_{и}А</матх>. Последица 1. Ограницхен скуп А у простору <матх>Р^{н}</матх> је мерљив акко је <матх>\му \партиал А = 0</матх>. Став 4. Ако су <матх>А,Б \субсет Р^{н}</матх> мерљиви скупови, онда су мерљиви и <матх>А \цуп Б, А \цап Б$ и $А \сетминус Б</матх>. Доказ Следи из последице 1 и инклузија <матх>\партиал (А \цуп Б) \субсет \партиал А \цуп \партиал Б, \партиал (А \цап Б) \субсет \партиал А \цуп \партиал Б, \партиал (А \сетминус Б) \субсет \партиал А \цуп \партиал Б</матх>. Теорема 2. Нека су А,Б мерљиви скупови и <матх>А \цап Б \субсет \партиал А \цуп \партиал Б</матх>. Тада је скуп <матх>А \цуп Б</матх> мерљив и вазхи <матх>\му (А \цуп Б) = \му А + \му Б</матх>. Последица 2. Ако су <матх>А,Б \субсет Р^{н}</матх> мерљви скупови и <матх>А \субсет Б</матх>, онда је <матх>\му (Б \сетминус А) = \му Б - \му А</матх>.
