3 Žordanova mera skupa.

Ivan Milosavljević - Žordanova mera skupa.

Neka su <math> a = (a_{1},a_{2},...,a_{n}) </math> i <math> b = (b_{1},b_{2},...,b_{n})</math> dve tačke u prostoru <math>R^{n}</math>. Skup <math>I_{a,b} = \{ x\in R^{n} | a_{i}\leq x_{i} \leq b_{i}, i = 1 ,..., n \}</math> nazvaćemo segmentom u prostoru <math>R^{n}</math>. Primetimo da za n=2, segment je pravogaonik, za n=3 je kvadar; segment u prostoru <math>R^{n}</math> je pravougli n-paralelopiped.

Mera <math>\mu I _{a,b}</math> segmenta <math>I_{a,b}</math> je broj <math>\mu I_{a,b}=\prod^{n}_{i=1}</math> (<math>b_{i}-a_{i}</math>).

Neka su <math>I_{i}</math>=[<math>a_{i},b_{i}</math>], <math>i=1,...,n</math>, segmenti na R. Tada <math>I_{a,b}=\prod^{n}_{i=1} I_{i}</math>, gde je <math>a = (a_{1},...,n),b = (b_{1},...,n)</math>. Na segmentu <math>I_{i}</math> uochimo podelu <math>P_{i}= \{x_{i}^{0},x_{i}^{1},...,x_{i}^{n}\}, i=1,...,n </math>. Dekartov proizvod

<math>P=P_{1}</math>x ... x <math>P_{n} = \{(x_{1},...,x_{n}) \in R^{n} | x_{i} \in P_{i}, i=1,...,n\}</math>

je podela segmenta <math>I_{a,b}</math>. Ta podela odredjuje segmente <math>[x_{1}^{j_{i}},x_{1}^{j_{i}+1} ]</math> x ... x <math>[x_{n}^{j_{n}},x_{n}^{j_{n}+1} ]</math>

koje nazovimo podsegmentima u odnosu na segmentu <math>I_{a,b}</math>. Podelu P nekog segmenta <math>I_{a,b}</math> josh ćemo predstavljati u obliku skupa podsegmenata <math>I^{1},..., I^{k}</math> tj. <math>P = \{I^{1},..., I^{k}\}</math>.

slika koordinatnog sistema u $R^{2}$ sa pravougaonikom podeljenim na kvadraticima i slika koordinatnog sistema u <math>R^{3}</math> sa kvadrom podeljenim na kockice.

Sa <math>\underline{w}_{p}(A)</math> oznachicemo uniju svih onih podsegmenata podele P koji se sastoje samo od unutrashnjih tachaka skupa A, a sa <math>\overline{w}_{p}(A)</math> uniju svih podsegmenata koji sadrzhe bar neku tachku skupa <math>A \cup \partial A</math>. Zbir mera svih podsegmenata iz <math>\underline{w}_{p}(A)</math>, odnosno <math>\overline{w}_{p}(A)</math> oznachicemo sa <math>|\underline{w}_{p}(A)|</math>, odnosno <math>|\overline{w}_{p}(A)|</math>, odnosno <math>|\underline{w}_{p}(A)|</math> (kracje <math>|\underline{w}_{p}|</math>, odnosno <math>|\overline{w}_{p}|</math>, ako se zna o kom se skupu A radi).

Imamo da je: <math>sup_{P}|\underline{w}_{p}(A)|= \mu_{i}A</math> i <math>inf_{P}|\overline{w}_{p}(A)|= \mu_{e}A</math>

Broj <math>\mu_{i}A</math> nazivamo unutrashnjom, a broj <math>\mu_{e}A</math> spoljashnjom Zhordanovom merom skupa A (unutrashnjom i spoljashnjom n-dimenzionalnom merom). Ochito je <math>\mu_{i}A \leq \mu_{e}A</math>.

Definicija 1:

Ako je <math>\mu_{i}A=\mu_{e}A</math>, onda kazhemo da je skup A merljiv po (Zhordanu), a taj broj oznachavamo sa <math>\mu A</math> i nazivamo n-dimenzionalnom Zhordanovom merom skupa A.

Svojstva Zhordanove mere </P Primetimo najpre da za svaki merljiv skup <math>A \subset R^{n}</math> vazhi <math>\mu A \geq 0</math>. Stav 1. Ako su <math>A,B \subset R^{n}</math> merljivi skupovi i <math>A \subset B</math>, onda je <math>\mu A \leq \mu B</math>. Dokaz. Za svaku podelu P je <math>\underline{w}_{p}(A) \subset \underline{w}_{p}(B)</math>, odakle je <math>|\underline{w}_{p}(A)| \leq |\underline{w}_{p}(B)|</math>, shto daje <math>\mu_{i} A \leq \mu_{i} B</math>. Dakle i <math>\mu A \leq \mu B</math>. Stav 2. Ako je <math>A \subset R^{n}</math> otvoren i merljiv skup, onda je <math>\mu A > 0</math>. Dokaz. Postoje tachka <math>x\in A</math> i kugla <math>K(x,r) \subset A, r > 0</math>. No, tada postoji segment <math>I_{a,b}</math> upisan u <math>K(x,r)</math>. Iz <math>\mu I_{a,b} > 0</math> i prethodnog stava sledi tvrdjenje. Stav 3. Mera skupa A jednaka je nuli akko za proizvoljno <math>\varepsilon > 0</math> postoji podela P, tako da je <math>|\overline{w}_{p} (A)| < \varepsilon</math>. Dokaz. Da je uslov neophodan sledi iz <math>inf_{P}|\overline{w}_{p}(A)|</math>, a iz <math>sup_{P}|\underline{w}_{p}(A)| \leq \varepsilon </math> i chinjenice da je <math>\varepsilon</math> proizvoljno malo da sledi <math>\mu_{e} A=0</math>, pa je uslov i dovoljan. Teorema 1. Ako je <math>A \subset R^{n}</math> ogranichen skup, onda je <math>\mu_{e}\partial A = \mu_{e}A-\mu_{i}A</math>. Posledica 1. Ogranichen skup A u prostoru <math>R^{n}</math> je merljiv akko je <math>\mu \partial A = 0</math>. Stav 4. Ako su <math>A,B \subset R^{n}</math> merljivi skupovi, onda su merljivi i <math>A \cup B, A \cap B$ i $A \setminus B</math>. Dokaz Sledi iz posledice 1 i inkluzija <math>\partial (A \cup B) \subset \partial A \cup \partial B, \partial (A \cap B) \subset \partial A \cup \partial B, \partial (A \setminus B) \subset \partial A \cup \partial B</math>. Teorema 2. Neka su A,B merljivi skupovi i <math>A \cap B \subset \partial A \cup \partial B</math>. Tada je skup <math>A \cup B</math> merljiv i vazhi <math>\mu (A \cup B) = \mu A + \mu B</math>. Posledica 2. Ako su <math>A,B \subset R^{n}</math> merljvi skupovi i <math>A \subset B</math>, onda je <math>\mu (B \setminus A) = \mu B - \mu A</math>.